Existencia de una serie que converge a cualquier punto arbitrario que depende del signo

Question

De manera informal, mi pregunta es la siguiente:

Dado un conjunto de puntos $\{x_\alpha\}_{\alpha \in \mathcal{I}} \subseteq \mathbb{R}$ ¿existe una secuencia $(a_n)_{n \in \mathbb{Z}^+}$ tal que $\sum_{n=1}^\infty \pm a_n$ converge a cualquier $x_\alpha$ para una elección adecuada de $\pm$ para cada $a_n$ ?

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Esta cuestión está motivada por el conocido hecho de que dada una serie convergente condicionalmente real $\sum_{n=1}^\infty a_n$ se pueden reordenar arbitrariamente los términos para que la serie converja a cualquier valor en $\mathbb{R}$ . Aquí no permito la reordenación de los términos, sino que permito que los signos de cada término varíen.

Para formalizar el problema, consideremos un conjunto arbitrario de puntos $\{x_\alpha\}_{\alpha \in \mathcal{I}} \subseteq \mathbb{R}$ . ¿Existe una secuencia $(a_n)_{n \in \mathbb{Z}^+}$ tal que la imagen de la función \begin {align*} f : \{-1,1\}^{ \mathbb {Z}^+} & \to \mathbb {R} \\ (s_1,s_2,s_3, \dots ) & \mapsto \sum_ {n=1}^ \infty s_na_n \end {align*} contiene $\{x_\alpha\}_{\alpha \in \mathcal{I}}$ como subconjunto?

Se agradecerá cualquier información que se proporcione.

Answer 1

Cualquier secuencia $(a_n)$ con $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ y $\sum_{n=1}^\infty |a_n| =\infty$ lo hará.

Dado cualquier $x \in \mathbb R$ , defina $b_n=s_na_n$ y por lo tanto $s_n$ recursivamente por

$$b_n= \begin{cases} |a_n| & \text{, if } \sum_{i=1}^{n-1} b_n \le x \\ -|a_n| & \text{, otherwise.} \end{cases} $$

Dado un cualquier $\epsilon > 0$ , dejemos que $N_\epsilon$ sea tal que $\forall n > N_\epsilon: |a_n| < \epsilon$ (existe debido a la condición de límite en $(a_n)$ ).

Si $\sum_{i=1}^{N_\epsilon} b_i \le x$ entonces $b_{N_\epsilon+1}$ será no negativo, y el siguiente $(b_i)$ también lo será hasta que en algún momento $N^{(1)}_\epsilon > N_\epsilon$ tenemos $\sum_{i=1}^{N^{(1)}_\epsilon} b_i > x$ por primera vez después de $N_\epsilon$ . Esto se debe a la serie absoluta $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ divergentes.

Desde $\sum_{i=1}^{N^{(1)}_\epsilon} b_i = b_{N^{(1)}_\epsilon} + \sum_{i=1}^{N^{(1)}_\epsilon-1} b_i$ y $b_{N^{(1)}_\epsilon}=|a_{N^{(1)}_\epsilon}| < \epsilon$ y $\sum_{i=1}^{N^{(1)}_\epsilon-1}b_i \le x$ obtenemos

$$ x-\epsilon < x < \sum_{i=1}^{N^{(1)}_\epsilon} b_i < x+ \epsilon.$$

Un argumento análogo muestra que tal $N^{(1)}_\epsilon$ existe si $\sum_{i=1}^{N_\epsilon} b_i > x$ .

Ahora es fácil ver por inducción que para todo $n \ge N^{(1)}_\epsilon$

$$ x-\epsilon < \sum_{i=1}^{n} b_i < x+ \epsilon$$

tiene. Es cierto para $n = N^{(1)}_\epsilon$ y si es cierto para $n=k$ , entonces si

$$\sum_{i=1}^{k} b_i \le x,$$

tenemos $b_{k+1}=|a_{k+1}| \ge 0$ y

$$x-\epsilon < \sum_{i=1}^{k} b_i \le \sum_{i=1}^{k+1} b_i = \sum_{i=1}^{k} b_i + |a_{k+1}| \le x + |a_{k+1}| < x+\epsilon.$$

Un argumento similar funciona cuando $\sum_{i=1}^{k} b_i > x$ .

Por lo tanto, para el $\epsilon$ encontramos un índice $N^{(1)}_\epsilon$ , tal que las sumas parciales de nuestra serie $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ permanecer dentro de un $\epsilon$ -en todo el corredor de $x$ después de $N^{(1)}_\epsilon$ . Esto significa que

$\sum_{n=1}^{\infty} b_n = x.$

Así que se puede organizar todo el $\mathbb R$ sea expresable como límite de dicha serie de signos cambiados.