Quiero demostrar que
Para todos los números irracionales $a \in \mathbb{R}$ existe un $Q \in \mathbb{N}$ tal que $|a-\frac{p}{q}| \lt \frac{1}{qQ}$ para $p,q \in \mathbb{Z}$ y $1 \le q \le Q$ .
Mi intento:
Dejemos que $a \in [0,1)$ y $Q \in \mathbb{N}$ . Dividir $[0,1)$ en $Q$ subintervalos disjuntos $I_i := [\frac{i}{Q}, \frac{i+1}{Q})$ para $i \in \{0,1,\ldots, Q-1\}$ . Considere las partes fraccionarias $\{na\} \in [0,1)$ del número $na$ para $n \in \{0,1,\ldots, Q\}$ . Dado que hay en total $Q+1$ tales partes fraccionarias, pero sólo $Q$ subintervalos, por el Principio de Pidgeonhole debe haber al menos un subintervalo que contenga al menos dos partes fraccionarias. Sean estas dos partes fraccionarias $\{na\}, \{ma\} \in I_i$ . Wlog deja $m \lt n$ . Entonces
$$|\{na\} - \{ma\}| \lt \frac{1}{Q}$$
ya que esas dos partes fraccionarias están en el mismo $I_i$ que tiene una anchura de $\frac{1}{Q}$ . Por la definición de partes fraccionarias
$$\{na\} - \{ma\} = na - \lfloor na \rfloor - (ma - \lfloor ma \rfloor) = na - ma - \lfloor na \rfloor + \lfloor ma \rfloor = aq - p$$
para $q := n-m$ y $p := \lfloor na \rfloor - \lfloor ma \rfloor$ . También $p,q \in \mathbb{N}$ porque $m \lt n$ . De ello se desprende entonces
$$|aq - p| \lt \frac{1}{Q} \iff |a - \frac{p}{q}| \lt \frac{1}{qQ}$$
Si $a \ge 1$ entonces podemos escribir $a = a' + k$ para algunos $a' \in [0,1)$ y $k \in \mathbb{N}$ . Entonces con $p' = p+qk \in \mathbb{N}$
$$|a - \frac{p}{q}| = |a' + k - \frac{p}{q}| = |a' - \frac{p+qk}{q}| = |a' - \frac{p'}{q}| \lt \frac{1}{qQ}$$
por el primer caso.
Si $a \lt 0$ entonces el número racional debe ser negativo también, así que dejemos $p \in \mathbb{Z}$ y $p \le 0$ . Entonces con $a' := -a \gt 0$ y $p' := -p \ge 0$
$$|a - \frac{p}{q}| = |-(a' - \frac{p'}{q})| = |a' - \frac{p'}{q}| \lt \frac{1}{qQ}$$
por el primer caso de nuevo.
Mi pregunta:
¿Es correcta mi prueba? ¿Hay algo que se pueda hacer mejor?
Todavía no estoy muy seguro de las dependencias. $Q$ es realmente $Q_a$ así que sólo depende de $a$ ¡?! Y es $p,q$ realmente $p_a,q_a$ sólo depende de $a$ también o también en $Q$ ?
¿Podría en cambio tomar números $na$ para $n$ de otro subconjunto que $\{0,1,\ldots, Q\}$ siempre que tenga la misma cardinalidad?
¿Cómo puedo garantizar que $p' \in \mathbb{N}$ porque $k$ puede ser un número entero negativo. También creo que el último argumento que di, por qué considerar $a \in [0,1)$ es suficiente, no es realmente la esencia.
