Integral de contorno de una gaussiana compleja

Question

Digamos que tenemos la integral

$ I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a(k+bi)^2} dk $

Sé que esto da $\sqrt{\frac{\pi}{a}}$ a través de Wolfram y otras fuentes. También estoy bastante seguro de que tengo que resolver este problema utilizando la integración de contornos, sin embargo, no he visto nada similar en la forma y no sé qué contorno para elegir el contorno correcto para evaluar sobre, tengo que ser capaz de mostrar rigurosamente mostrar $I = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$ Pero, ¿cómo?

Una última pregunta, si no se trata de una integración de contornos, ¿cómo debo enfocar el problema?

Answer 1

Si quieres hacerlo sin integración de contornos, puedes utilizar un resultado estándar para la transformada de Fourier. Expande la integral $$ I=\int_{-\infty}^\infty e^{a b^2}e^{-2i ab k}e^{-a k^2}\;dk\\ I=C\int_{-\infty}^\infty e^{-2 \pi i x k}e^{-a k^2}\;dk\\ $$ donde $x=2ab/(2\pi)$ . Podemos identificarla como la transformada de Fourier de una gaussiana que se puede encontrar en una tabla estándar $$ I = C \frac{e^{{-\frac{\pi^2 x^2}{a}}} \sqrt{\pi}}{\sqrt{a}}\\ I = e^{a b^2} \frac{e^{{-\frac{\pi^2 (2ab/(2\pi))^2}{a}}} \sqrt{\pi}}{\sqrt{a}} \\ I= e^{a b^2} \frac{e^{{-ab^2}} \sqrt{\pi}}{\sqrt{a}} \\ I= \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{a}} $$

Answer 2

Considera el contorno $$ \gamma=[-R,R]\cup[R,R+bi]\cup[R+bi,-R+bi]\cup[-R+bi,-R] $$ La integral $$ \int_\gamma e^{-az^2}\,\mathrm{d}z=0 $$ ya que no hay singularidades de $e^{-az^2}$ en su interior (o en cualquier lugar). Como la integral a lo largo de $[R,R+bi]$ y $[-R+bi,-R]$ se desvanecen como $R\to\infty$ obtenemos que la integral a lo largo de este contorno es la diferencia $$ \int_{-\infty}^\infty e^{-ak^2}\,\mathrm{d}k-\int_{-\infty}^\infty e^{-a(k+bi)^2}\,\mathrm{d}k $$