$a_n X \to 0$ en la distribución implica $a_n \to 0$

Question

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria con $0 < \mathbb{E}X^2 < \infty$ y $\{a_n\}$ una secuencia en $\mathbb{R}$ . ¿Es cierta la siguiente implicación?

$$a_n X \stackrel{d}{\to} 0 \implies a_n \to 0$$

Aquí $0$ es el $0$ -en nuestro espacio de probabilidad. Supongo que es cierto, pero no puedo demostrarlo.

Trabajando con funciones características, tenemos

$$\phi_X(a_nt)=\phi_{a_n X}(t) \to 1$$ para todos $t \in \mathbb{R}$

En particular, $\phi_X(a_n) \to 1$ . Esto no parece ayudar.

EDITAR:

A través de Portmanteau, pude demostrar que $a_n X\stackrel{\mathbb{P}}\to 0$ por lo que tenemos una subsecuencia $a_{k_n} X \to 0$ a.s. y luego tomar un punto donde $X \neq 0$ vemos que $a_{k_n} \to 0$ por lo que es cierto que alguna subsecuencia debe converger a $0$ .

Answer 1

La función $f(x)=\min \{|x|,1\}$ es una función continua acotada. Así que $Ef(a_nX) \to 0$ . Supongamos, si es posible, $a_n$ no tiende a $0$ . Entonces hay una subsecuencia $a_{n_k}$ y $r>0$ tal que $|a_{n_k}| >r$ para todos $k$ . Esto da $Ef(r|X|)=0$ . Esto implica que $X=0$ contradiciendo casi con seguridad la hipótesis de que $EX^{2} >0$ .