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Ejercicio sencillo sobre el lema de Fatou

¿Podría alguien ayudarme con este ejercicio tan sencillo? Dejemos que $(X,\mathcal F,\mu)$ sea un espacio de medidas, y $A,B\in\mathcal F$ tal que $A\cap B=\varnothing$ . Considere la secuencia $$f_n = \begin{cases} 1_A, & \text{if $ n $ is even} \\ 1_B, & \text{if $ n $ is odd} \end{cases}$$ donde $1_A$ es la función indicadora del conjunto $A$ .

Tengo que demostrar que el lema de Fatou se cumple, pero la desigualdad debe ser estricta. Como siempre, me confundo con las funciones indicadoras. Mi razonamiento es: para todos los términos pares de mi secuencia, obtengo la función indicadora sobre el conjunto A, es decir: si n está en A, obtengo 1, y 0 en caso contrario. Lo mismo ocurre con los términos Impares. Como A y B nunca se cruzan, no hay ninguna x en A \capB. Así, los únicos valores de mi secuencia son 1 y 0, y entonces el cálculo del límite se reduce al de una simple función indicadora. ¿Es esto correcto? ¿Puedo concluir que el liminf es 0? Entonces, ¿la integral de mi liminf es simplemente 0? Pero ahora me confundo. He intentado hacer un dibujo estupido de esto, pero no me lleva a ninguna parte. ¿Qué significa realmente comprobar que un punto está en el conjunto A? ¿Qué hay de malo en mi razonamiento? Gracias.

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mathers101 Puntos 1796

Esto no es cierto como se ha dicho. Por ejemplo, tomemos $A=B=\varnothing$ . Si, por el contrario, se asume que ambos $A$ y $B$ tienen medida positiva, entonces sí es cierto, lo que asumiré para esta respuesta.

¿Qué dice el lema de Fatou? Dice que si $f_n$ es una secuencia de funciones medibles no negativas sobre un espacio de medidas $(X,\mathcal F,\mu)$ entonces

$$\int_X \liminf_n f_n\;d\mu\le\liminf_n\int_X f_n\;d\mu.$$

Ahora bien, la hipótesis es ciertamente cierta en nuestro caso porque las funciones indicadoras son no negativas y medibles, por lo que el lema de Fatou se cumple efectivamente. ¿Cómo podemos ver que es una desigualdad estricta?

Bueno, ¿qué es $\liminf_n f_n$ ? Para cualquier $x\in X$ ya que $A$ y $B$ son disjuntos, hay infinitos valores de $n$ tal que $f_n(x)=0$ (¿por qué?). Esto dice precisamente que $\liminf_n f_n=0$ . Por lo tanto, el lado izquierdo de la ecuación es cero.

¿Y el lado derecho? Bueno, es fácil ver que

$$\int_X f_n\;d\mu=\begin{cases}\mu(A)&\text{$ n $ is even}\\\mu(B)&\text{$ n $ is odd}\end{cases}$$

y por lo tanto $\liminf_n\int_X f_n\;d\mu=\min\{\mu(A),\mu(B)\}$ . Si ambos $A$ y $B$ tienen medida positiva, entonces este valor es positivo, por lo que la desigualdad anterior es estricta.


Además, me gustaría añadir que es la cuarta vez que haces una pregunta en este sitio; si piensas seguir haciéndolo, deberías aprender a usar LaTeX. He editado la primera parte de tu pregunta, y te animo a que intentes arreglar el resto, copiando los comandos que he utilizado en mi edición.

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