¿Podría alguien ayudarme con este ejercicio tan sencillo? Dejemos que $(X,\mathcal F,\mu)$ sea un espacio de medidas, y $A,B\in\mathcal F$ tal que $A\cap B=\varnothing$ . Considere la secuencia $$f_n = \begin{cases} 1_A, & \text{if $ n $ is even} \\ 1_B, & \text{if $ n $ is odd} \end{cases}$$ donde $1_A$ es la función indicadora del conjunto $A$ .
Tengo que demostrar que el lema de Fatou se cumple, pero la desigualdad debe ser estricta. Como siempre, me confundo con las funciones indicadoras. Mi razonamiento es: para todos los términos pares de mi secuencia, obtengo la función indicadora sobre el conjunto A, es decir: si n está en A, obtengo 1, y 0 en caso contrario. Lo mismo ocurre con los términos Impares. Como A y B nunca se cruzan, no hay ninguna x en A \capB. Así, los únicos valores de mi secuencia son 1 y 0, y entonces el cálculo del límite se reduce al de una simple función indicadora. ¿Es esto correcto? ¿Puedo concluir que el liminf es 0? Entonces, ¿la integral de mi liminf es simplemente 0? Pero ahora me confundo. He intentado hacer un dibujo estupido de esto, pero no me lleva a ninguna parte. ¿Qué significa realmente comprobar que un punto está en el conjunto A? ¿Qué hay de malo en mi razonamiento? Gracias.