¿Para qué valores de $a$ , $b$ y $c$ es $f(x) = ax^2 + bx + c$ (i) ¿uno a uno? (ii) ¿sobre?

Question

Dejemos que $a$ , $b$ y $c$ sean números reales y considere que $f$ mapas $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ .

¿Para qué valores de $a$ , $b$ y $c$ es $f(x) = ax^2 + bx + c$ (i) ¿uno a uno? (ii) ¿sobre?

Answer 1

Informal, para empezar:

Si $a\ne 0$ ¿Qué hace la curva $y=ax^2+bx+c$ ¿parece? ¿Mal, no? Es una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo, y se puede véase que tanto el uno a uno como el onto fallan.

Así que para uno a uno, o sobre, necesitamos $a=0$ . Supongamos que a partir de ahora $a=0$ .

Si $b=0$ un gran problema.

Demuestre que si $a=0$ y $b\ne 0$ la función es uno a uno y sobre. Geométricamente, $y=bx+c$ es una línea que no es ni superior ni inferior ni paralela a la $x$ -eje. El valor de $c$ no importa.

Una vez que hayas averiguado geométricamente lo que ocurre, hacer los detalles algebraicos (si son necesarios) no será difícil.