Prueba $X_t = {W_t}^3 - 3\int^{t}_{0} W_s \, ds$ es una martingala utilizando la definición

Question

Pregunta: Prueba $X_t = {W_t}^3 - 3\int^{t}_{0} W_s \, ds$ es una martingala por definición, es decir, para cualquier $0\leq s <t, $ tenemos $$\mathbb{E}(X_t|\mathcal{F}_s) = X_s$$ donde $\mathcal{F}_s$ es la filtración generada por $X_s.$

Puedo resolver la pregunta demostrando que la SDE satisfecha por $X_t$ no tiene ningún término de deriva, y por lo tanto $X_t$ es una martingala.

Pero no sé cómo mostrar usando la definición de martingala.

Answer 1

$$X_t-X_s=(W_t-W_s+W_s)^3-W_s^3-3 \int_{s}^{t}{(W_u-W_s+W_s)du}$$

$$=\left[(W_t-W_s)^3+3(W_t-W_s)^2W_s+3(W_t-W_s)W_s^2+W_s^3\right]-W_s^3-3 \int_{s}^{t}{(W_u-W_s)du}-3W_s(t-s)$$

Tomando la expectativa, utilizando el hecho de la independencia entre $W_u-W_s$ y $\mathcal{F_s}$ con $s\leq u \leq t$

$$E[(W_t-W_s)^3| \mathcal{F_s}]=E[(W_t-W_s)^3]=0$$ $$E[3(W_t-W_s)^2W_s| \mathcal{F_s}]=3W_sE[(W_t-W_s)^2]=3W_s(t-s)$$ $$E[3(W_t-W_s)W_s^2| \mathcal{F_s}]=3W_s^2E[(W_t-W_s)]=0$$ $$E\left[3 \int_{s}^{t}{(W_u-W_s)du}| \mathcal{F_s}\right]=3 \int_{s}^{t}{E\left[(W_u-W_s)| \mathcal{F_s}\right]du}=0$$

Por lo tanto, $$E[(X_t-X_s)| \mathcal{F_s}]=3W_s(t-s)-3W_s(t-s)=0$$

o $$E[X_t| \mathcal{F_s}]=X_s$$