Ejercicio 4.19 en Atiyah-MacDonald

Question

No puedo probar la última frase de la pista del ejercicio 4.19 del libro de Atiyah y MacDonald.

Este es el enunciado del ejercicio (con la notación $\subset$ en lugar de $\subseteq$ para su inclusión):

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Dejemos que $A$ sea un anillo y $\mathfrak p$ un ideal primo de $A$ . Demuestre que cada $\mathfrak p$ -el ideal primario contiene $S_{\mathfrak p}(0)$ el núcleo del homomorfismo canónico $A\to A_{\mathfrak p}$ .

Supongamos que $A$ satisface la siguiente condición: para cada ideal primo $\mathfrak p$ la intersección de todos los $\mathfrak p$ -ideas primarias de $A$ es igual a $S_{\mathfrak p}(0)$ . (Los anillos noetherianos cumplen esta condición: véase el capítulo 10.) Sea $\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_n$ sean ideales primos distintos, ninguno de los cuales es un ideal primo mínimo de $A$ . Entonces existe un ideal $\mathfrak a$ en $A$ cuyos ideales primos asociados son $\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_n$ .

[Prueba por inducción en $n$ . El caso $n=1$ es trivial (toma $\mathfrak a=\mathfrak p_1$ ). Supongamos que $n>1$ y que $\mathfrak p_n$ sea máxima en el conjunto $\{\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_n\}$ . Por la hipótesis inductiva existe un ideal $\mathfrak b$ y una descomposición primaria mínima $\mathfrak b=\mathfrak q_1\cap\dots\cap\mathfrak q_{n-1}$ donde cada $\mathfrak q_i$ es $\mathfrak p_i$ -Primaria. Si $\mathfrak b\subset S_{\mathfrak p_n}(0)$ dejar $\mathfrak p$ sea un ideal primo mínimo de $A$ contenida en $\mathfrak p_n$ . Entonces $S_{\mathfrak p_n}(0)\subset S_{\mathfrak p}(0)$ Por lo tanto $\mathfrak b\subset S_{\mathfrak p}(0)$ . Tomando los radicales y utilizando el ejercicio 10, tenemos $\mathfrak p_1\cap\dots\cap\mathfrak p_{n-1}\subset\mathfrak p$ Por lo tanto, algunos $\mathfrak p_i\subset \mathfrak p$ Por lo tanto $\mathfrak p_i=\mathfrak p$ desde $\mathfrak p$ es mínima. Esto es una contradicción ya que ningún $\mathfrak p_i$ es mínimo. Por lo tanto, $\mathfrak b\not\subset S_{\mathfrak p}(0)$ y por lo tanto existe un $\mathfrak p_n$ -ideal primario $\mathfrak q_n$ tal que $\mathfrak b\not\subset\mathfrak q_n$ . Demostrar que $\mathfrak a=\mathfrak q_1\cap\dots\cap\mathfrak q_n$ tiene las propiedades requeridas].

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Para explicar mi problema, consideremos el caso particular $n=3$ . Obtenemos $\mathfrak b=\mathfrak q_1\cap\mathfrak q_2$ y $\mathfrak a=\mathfrak q_1\cap\mathfrak q_2\cap\mathfrak q_3$ . Supongamos que $\mathfrak q_1\cap\mathfrak q_3\subset\mathfrak q_2$ . Debería ser capaz de derivar una contradicción de esto, pero no lo soy. [Todo lo que puedo decir es que, estableciendo $\mathfrak p_i:=r(\mathfrak q_i)$ obtenemos $\mathfrak p_1\cap\mathfrak p_3\subset\mathfrak p_2$ Por lo tanto $\mathfrak p_1\subset\mathfrak p_2$ o $\mathfrak p_3\subset\mathfrak p_2$ y por lo tanto, $\mathfrak p_3$ siendo máxima, $\mathfrak p_1\subset\mathfrak p_2$ .]

Answer 1

Supongamos que $\mathfrak{a}=\mathfrak{q}_1\cap \cdots \cap \mathfrak{q}_n$ no es una descomposición primaria mínima. Dado que $\mathfrak{q}_n\not \supset \mathfrak{q}_1\cap \cdots \cap \mathfrak{q}_n$ hay un índice $i, 1\leq i\leq n-1$ tal que $\mathfrak{q}_i$ contiene la intersección de los otros ideales primarios. Supongamos que $i=1$ es decir $\mathfrak{q}_1\supset \mathfrak{q}_2\cap \cdots \cap\mathfrak{q}_n$ . Por hipótesis de inducción, $\mathfrak{q}_1\not \supset \mathfrak{q}_2\cap \cdots \cap\mathfrak{q}_{n-1}$ por lo que existe $x\in \mathfrak{q}_2\cap \cdots \cap\mathfrak{q}_{n-1}- \mathfrak{q}_1$ . Por otro lado, $\mathfrak{p}_1=r(\mathfrak{q}_1)\not \supset \mathfrak{q}_n$ . De hecho, si $\mathfrak{p}_1\supset \mathfrak{q}_n$ entonces $\mathfrak{p_1}\supset \mathfrak{p}_n$ ya que $\mathfrak{p}_n$ es máxima en $\{\mathfrak{p}_1,\dots,\mathfrak{p}_n\}$ debemos tener $\mathfrak{p_1}=\mathfrak{p}_n$ , una contradicción. Por lo tanto, existe $y\in \mathfrak{q}_n$ tal que $y\notin \mathfrak{p}_1$ .

Considere $xy\in \mathfrak{q}_2\cap \cdots \cap \mathfrak{q}_n\subset \mathfrak{q}_1$ . Desde $\mathfrak{q}_1$ es $\mathfrak{p}_1$ -primario, por lo que $x\in \mathfrak{q}_1$ o $y\in \mathfrak{p}_1$ . Pero por la construcción de $x$ y $y$ No es el caso.