La gama de valores de $a$ tal que...

Question

Pregunta

El rango de valores de 'a' para el que la tangente común a la elipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1$ y la parábola $y^2=4x$ y su cuerda de contacto pueden formar un triángulo equilátero es_______.

Sé que no es de recibo preguntar aquí sin subir ningún trabajo, pero, no soy capaz de pensar nada en esto. No soy capaz de abordar esta cuestión. Cualquier pista o sugerencia es bienvenida.

Gracias por su esfuerzo y tiempo.

Answer 1

Dejemos que $(x_1,y_1), (x_2,y_2)$ sean los puntos de contacto de la tangente común en la elipse y la parábola respectivamente, por encima del $x$ eje. Obsérvese que como las curvas son simétricas con respecto al $x$ eje, los otros dos puntos de contacto por debajo del $x$ vienen dadas por $(x_1,-y_1),(x_2,-y_2)$ . De nuevo, debido a la simetría, el $x$ es la bisectriz del ángulo de las tangentes comunes. Como requerimos que el ángulo entre las tangentes sea $60\deg$ las tangentes están inclinadas a $30\deg$ por encima y por debajo del $x$ y sus pendientes vienen dadas por $\tan(\pm30\deg)=\pm1/\sqrt3$ .

Diferencie la ecuación de la parábola con respecto a $x$ y establecer $y'=1/\sqrt3$ ,

$\displaystyle y^2=4x\implies yy'=2\implies y_2=2\sqrt3, x_2=3$

La ecuación de la tangente común es $\displaystyle\frac{y-2\sqrt3}{x-3}=\frac1{\sqrt3}$ y sus intercepciones en los ejes son $(-3,\sqrt3)$ .

La tangente común debe intersecar la elipse sólo una vez.

$\implies |b|< \sqrt3, |a|<3$