Expresar los productos como la suma de dos cuadrados

Question

Expreso $(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)$ como la suma de dos cuadrados.

No tengo ni idea de por dónde empezar, sé que no hay que postear sólo para buscar una solución pero una pista seguro que ayuda.

Answer 1

Una pista:

$$1+x^2=(1+ix)(1-ix)$$

Haz lo mismo con otros factores.

Por último, reordena el producto de esta manera:

$$[(1+ix)(1+iy)(1+iz)]\cdot[(1-ix)(1-iy)(1-iz)]$$

Answer 2

Por La identidad de Lagrange $$ (a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ad-bc)^2 + (ac+bd)^2 \tag{1}$$ se deduce que los números que son una suma de dos cuadrados forman un semigrupo .
Una prueba directa de $(1)$ es considerar que $a^2+b^2$ es el norma de $a+bi$ en $\mathbb{C}=\mathbb{R}[i]$ .
La norma es multiplicativa y $(a-bi)(c+di)=(ac+bd)+(ad-bc)i$ . Una alternativa equivalente es explotar el teorema de Binet $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ a través de las matrices $$ A = \begin{pmatrix}a & -b \\ b & a\end{pmatrix},\qquad B = \begin{pmatrix}c & d \\ -d & c\end{pmatrix},\quad AB=\begin{pmatrix}ac+bd & ad-bc \\ bc-ad &ac+bd\end{pmatrix}.\tag{2} $$ De una forma u otra, ya que $$ (i+x)(i+y)(i+z)=(xyz-x-y-z)+i(xy+xz+yz-1)\tag{3} $$ se deduce que: $$ \boxed{\phantom{\sum_{i=0}^{10}}(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)=\color{red}{(xyz-x-y-z)^2+(xy+xz+yz-1)^2}.\phantom{aa}}\tag{4} $$