Halla el centro de masa de un círculo cuando una mitad es más pesada que la otra?

Question

Tengo un problema que simplemente dice:

Consideremos un círculo (lámina) de radio 1 con centro (0,0) en el que la mitad izquierda pesa el doble que la derecha. Encuentra su centro de masa. Amplía tu solución para considerar que la mitad izquierda es $n$ veces más pesado que el derecho.

Así que sé que las fórmulas para la coordenada del centro de masa (para una densidad uniforme son):

$$x = \frac{\int_{A} x\rho dA}{\int_{A} \rho dA}$$ $$y = \frac{\int_{A} y\rho dA}{\int_{A} \rho dA}$$

Estoy bastante atascado pero lo único que se me ocurre es convertir a coordenadas polares para calcular la integración real pero en cuanto al planteamiento del problema, no estoy muy seguro. ¿Debo calcular cada mitad por separado y sólo calcular la media ponderada? O sólo calcular para un conjunto de coordenadas, y luego multiplicar la coordenada por 2 (o $n$ ) y encontrar una media a partir de ahí?

EDIT: así que me he adelantado y he utilizado coordenadas polares para encontrar el centro de masa de cada mitad, aquí están:

Utilizando $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}$ y $0 < r < 1$

la mitad derecha:

$$x = \frac{1}{\pi2\rho}$$ $$y = 0$$

y la mitad izquierda podría derivar fácilmente mirando lo anterior y dividiendo por el factor de dos e invirtiendo el signo:

$$x = \frac{-1}{\pi\rho}$$ $$y = 0$$

¿Qué puedo hacer ahora?

Todavía estoy atascado

Answer 1

Utilizando el cálculo, puedes obtener la siguiente fórmula para la distancia, a lo largo de la línea de simetría, del centro del semicírculo al centroide: $$\bar{x}=\frac{4r}{3\pi}=\frac{4}{3\pi}$$

Asumiendo este resultado por el momento, dejemos que el área de los semicírculos sea $A$ la masa del más ligero sea $A\rho$ y el más pesado (a la izquierda) sea $nA\rho$ .

Aplicando el principio de Varignon, tenemos $$A\rho\bar{x}-An\rho\bar{x}=A(n+1)\rho\bar{X},$$ donde $\bar{X}$ es la distancia combinada del centro al centro.

por lo que se obtiene el resultado general $$\bar{X}=\frac{4(1-n)}{3\pi(n+1)}$$