Consideremos la siguiente EDO singular $$ (t^{N-1}g(y'))'=t^{N-1}f(y) $$ con la condición inicial $$y(0)=y_0$$ $$y'(0)=0$$ . donde $g$ es una función creciente. ¿Cómo se puede demostrar que este problema tiene solución?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Charles
Puntos
849
No se puede demostrar la existencia en la generalidad que usted ha planteado. Por ejemplo, si $g(p) = e^p$ no hay solución cuando $N>1$ y $f$ es diferenciable.
Para ver esto, observe que, si hubiera una solución $y(t)$ a su problema en un barrio de $t=0$ entonces la curva $(t,y,p) = (t,y(t),y'(t))$ sería una curva integral del sistema $$ dy - p\ dt = d(t^{N-1}g(p)) - t^{N-1}f(y)\ dt = 0 $$ que pasa por el punto $(t,y,p) = (0,y_0,0)$ .
Ahora, fuera de la hipersuperficie $t=0$ en $typ$ -es equivalente al sistema $$ dy - p\ dt = \bigl((N{-}1)g(p)-tf(y)\bigr)\ dt + tg'(p)\ dp = 0. $$ Mientras $g(0)\not=0$ y $N>1$ este sistema tiene rango $2$ en el punto $(t,y,p) = (0,y_0,0)$ de modo que existe una única curva integral del sistema que pasa por este punto. Sin embargo, la inspección muestra que la curva es $(t,y,p) = (0,y_0,p)$ es una curva integral que pasa por el punto en cuestión. Por singularidad, es la única.
Por lo tanto, no hay una curva integral del tipo que se obtendría de una solución a su problema.
Sospecho que te has dejado alguna hipótesis o no has hecho una reducción de simetría correcta del sistema que intentas estudiar.
