Función inversa de $f(x,y,z) = (xy-z^2, x+z)$ ?

Question

¿Cómo se determina la función inversa $f^{-1}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ de

$f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 , f(x,y,z) = (xy-z^2, x+z) $ ?

O para ponerlo en un contexto más amplio:

Tengo que demostrar que $M := \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | xy-z^2 = 1 \text{ and } x+z = 2 \} $ es un submanifold de $\mathbb{R}^3$ . El enfoque del profesor es mostrar que $(1,2)$ es un valor regular de f (de arriba). Porque $M = f^{-1}(1,2) $ y por el Teorema de la Inmersión, $M$ es un submanifold.

Ahora, ¿cómo sabe que $M = f^{-1}(1,2) $ ?

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Para ser invertible, la función debe ser uno a uno. Sin embargo, $f$ envía ambos $(2,2,-2)$ y $(3,3,-3)$ a $(0,0)$ . Por lo tanto, no es uno a uno, y no es invertible. ¿Qué es lo que $f^{-1}(0,0)$ ¿ser?

Answer 2

Función $f$ no es invertible, porque para cada $y_1,z_1,z_2\in\mathbb{R}$ tenemos

$$f(0,y_1,z_1)=f(z_1-z_2,-z_1-z_2,z_2).$$

Answer 3

A riesgo de un voto negativo, no creo que sea posible. La razón es que la primera fórmula es intrínsecamente deficitaria. Se pierde información al pasar de 3 elementos a 2. Pero espero equivocarme.

Edición: Refrescando mi memoria, el PO parece un conjunto de ecuaciones simultáneas para resolver. Uno podría tratar una de las variables como libre y definir las otras en consecuencia, excepto el problema encontrado por la mejor respuesta... ;)