¿Pueden caracterizarse así los espacios topológicos que surgen como suspensiones?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico. La suspensión de $X$ es el espacio topológico $SX = X\times[0,1]/\sim$ donde $(x_1, 0) \sim (x_2, 0)$ y $(x_1, 1)\sim (x_2, 1)$ para todos $x_1, x_2 \in X$ .

Dejemos que $p : X\times I \to SX$ sea la proyección. Obsérvese que $p(X\times[0, 1))$ y $p(X\times(0, 1])$ son subconjuntos abiertos contractibles de $SX$ y su intersección es homotópicamente equivalente a $X$ . ¿Es suficiente la existencia de tales conjuntos para caracterizar los espacios topológicos que surgen como suspensiones? Es decir,

Si $Y$ es un espacio topológico conexo y $U, V \subset Y$ son subconjuntos abiertos contractibles con $U\cup V = Y$ y $U\cap V$ equivalente en homotopía a $X$ es $Y$ equivalente en homotopía a $SX$ ?

Answer 1

Si quieres una equivalencia homotópica fuerte, la respuesta es no. El pseudocírculo es un espacio topológico finito con cuatro puntos $X = \{a,b,c,d\}$ y conjuntos abiertos $X$ , $\{a,b,c\}$ , $\{a,b,d\}$ , $\{a,b\}$ , $\{a\}$ , $\{b\}$ y $\varnothing$ . Entonces $X$ es la unión de los dos conjuntos abiertos contractibles $\{a,b,c\}$ y $\{a,b,d\}$ cuya intersección es $\{a,b\}$ con la topología discreta, es decir $S^0$ . Pero $X$ no es equivalente en homotopía a la suspensión de $S^0$ , también conocido como el círculo. Sin embargo, es débilmente equivalente a él.

Answer 2

En la página 247 de Topología y Groupoides (T&G) tenemos

7.4.3 (Corolario) Sea el espacio $X$ sea la unión de subespacios cerrados $X_1, X_2$ con la intersección $X_0$ de manera que las inclusiones $X_0 \to X_1, X_0 \to X_2$ son cofibraciones cerradas. Supongamos que $X_1$ y $X_2$ son contraíbles. Entonces $X$ es del tipo homotópico de la suspensión $SX_0$ .

Se trata de un corolario de 7.4.3 (El teorema del encolado), que apareció por primera vez en la edición de 1968 (con otro título) de ese libro. Yo pensaba entonces, y sigo pensando, que los estudiantes deberían aprender a construir equivalencias de homotopía antes de aprender a demostrar que no existen.

Vea también esto discusión de mathoverflow .

15 de noviembre: En realidad hay un resultado más preciso. Ya que $X_1$ es contraíble, el mapa de identidad $X_0 \to X_0$ se extiende a un mapa de pares $f:(CX_0,X_0) \to (X_1,X_0)$ , donde $CX_0$ es el cono en $X_0$ . Pero el mapa $CX_0 \to X_1$ es una equivalencia homotópica, ya que ambas son contractibles. Ahora podemos utilizar 7.4.2 de T&G, y que $X_0 \to X_1$ es una cofibración, para conseguir que $f$ es una equivalencia homotópica de pares.