Demostrar que la medida de un conjunto es cero

Question

Dejemos que $(X, \mathcal{M},u)$ sea un espacio de medidas con $\{E_i\}_{i=1}^{\infty}$ s.t $\sum_{i=1}^{\infty} u(E_i) < \infty$ . $E$ se define como $E=\{ x\in X: x \in E_i \text{ for infinitely many }i \}$ . Demostrar que $u(E) = 0$ .

Me he dado cuenta de que $E = \limsup_{k \rightarrow \infty} E_k = \cap_{n=1}^{\infty} \cup_{k \geq n} E_k$ y puede tener ese $u(\limsup E_i) \geq \limsup u(E_i)$ pero no parece llevar a ninguna parte.

Gracias de antemano.

Answer 1

$u(E)\leq u(\bigcup_{k \geq n} E_k)$ para cada $n$ . Esto da $u(E) \leq \sum\limits_{k=n}^{\infty} u(E_k)$ y esto tiende a $0$ como $ n \to \infty$ desde $\sum u(E_k) <\infty$ .