¿La integral definida de la función impar monótona es siempre positiva?

Question

Deseo demostrar una identidad en la teoría de control que utiliza la afirmación de que, la integral de un mapeo impar monotónico es siempre positiva definida.

Por ejemplo, considere el siguiente ejemplo: \begin {Ecuación} C(u)= \int_0 ^u \phi ^{-1}(v)dv \end {Ecuación} En la expresión anterior, $\phi^{-1}=\tanh^{-1}$ es la función impar y el límite $u$ puede ser tanto positivo como negativo. Algunos puntos a tener en cuenta son: (i) $\phi(.)$ está acotada y (ii) Su primera derivada también está acotada.
(iii) $\phi$ pertenece a $L_2(\Omega)$ es decir, su integral de Lebesgue debe ser finita.

Por favor, ayúdenme a demostrar esta afirmación. Muchas gracias por su tiempo y consideración.

Answer 1

Si $\phi^{-1}$ es impar y monotónicamente creciente, se cumple que $\phi^{-1}(\theta u)\theta u\geq 0$ para todos $\theta,u\in\mathbb{R}$ que a su vez da como resultado que $\phi^{-1}(\theta u) u\geq 0$ para todos $u\in\mathbb{R}$ y $\theta\in[0,1]$ .

Así, si consideramos un cambio de variables $v=\theta u$ en el cálculo de la integral $C(u)$ entonces tenemos que $$C(u)=\int_0^u{\phi^{-1}(v)dv}=\int_0^{1}{\phi^{-1}(\theta u) u\: d\theta}\geq 0$$ Además, si $C(u)=0$ entonces $u=0$ . Para demostrarlo se puede utilizar un argumento de contradicción. Supongamos por tanto que $u\neq 0$ . Desde $C(u)=0$ tenemos que $\phi^{-1}(\theta u) u=0$ para a.e. $\theta\in[0,1]$ o de forma equivalente $\phi^{-1}(\theta u)=0$ para a.e. $\theta\in[0,1]$ desde $u\neq 0$ . Sin embargo, esto implica $u=0$ debido a la monotonicidad de $\phi^{-1}$ .

Así, $C(u)$ es efectivamente una función definida positiva.

Answer 2

Si $f$ es una función impar monótona por lo que es $-f$ . Por lo tanto, la afirmación es errónea.