Construir una serie convergente que sea sustancialmente mayor que una serie convergente dada

Question

Esto es más una petición de consejo que de solución. Anoche nos dieron lo siguiente y nadie lo resolvió en el tiempo dado (unos 5 minutos). Creo que se trata de un problema que muchos alumnos encontraron en las series: ¿cómo se reconoce rápidamente con qué serie se debe comparar? ¿Es sólo cuestión de verlas lo suficiente?

Dejemos que $\{a_k\}$ sea una secuencia estrictamente positiva en $\mathbb R$ tal que $ \sum_k^{\infty} a_k$ converge. ¿Existe una secuencia $\{b_k\}$ en $\mathbb R$ tal que (1) $b_k > 0$ para todos $k \in \mathbb N$ ; (2) $\lim_{k \rightarrow \infty} {a_k \over b_k} = 0$ ; (3) $ \sum_k^{\infty} b_k$ ¿converge?

Escribe $ S_n = \sum_k^{n} a_k$ y $S = \lim_{n \rightarrow \infty} S_n$ . Establecer $b_1$ = $\sqrt{S} - \sqrt{S-S_1}$ . Entonces, para todos los $k \in \mathbb N$ , set $$b_k = \sqrt{S-S_{n-1}} - \sqrt{S-S_n} = {a_k \over \sqrt{S-S_{n-1}} + \sqrt{S-S_n}}$$ Claramente, $b_k$ es estrictamente positivo para todo $k$ . Entonces, $$\lim_{n \rightarrow \infty} {a_k \over b_k} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{S-S_{n-1}}+ \sqrt{S-S_n} = 0$$ Finalmente, $ \sum_k^{\infty} b_k = \sqrt{S} - \sqrt{S-S_1} + \sqrt{S-S_1} - \sqrt{S-S_2} ... \sqrt{S-S_{n-1}} - \sqrt{S-S_n} = \sqrt{S}$ como $n$ va al infinito.

Answer 1

Estoy de acuerdo con Greg Martin: la prueba dada no es algo que a la mayoría de la gente se le ocurra en cinco minutos. Un enfoque ampliamente útil, también mencionado por Greg Martin, es particionar el conjunto de índices de manera que el resto decaiga exponencialmente.

Formalmente: para cada $j$ elija $n_j$ para que $\sum_{k>n_j} a_k<2^{-j}$ y también $n_{j}>n_{j-1}$ . Definir $b_k=ja_k$ para $n_j\le k<n_{j+1}$ . Entonces $a_k/b_k\to 0$ . También, $\sum_{n_j\le k<n_{j+1}} b_k < j\,2^{-j}$ y sumando sobre $j$ obtenemos un número finito.

Ayuda que todos los términos sean positivos, para que se puedan agrupar a voluntad.