$f(x)=\sum_0^na_k\cos kx$ ， $ \sum_{k=0}^{n-1}|a_k|<a_n$ ，cómo demostrar que f tiene $2n$ raíces en $[0,2\pi)$

Question

$f(x)=\sum_0^na_k\cos kx$ ， $ \sum_{k=0}^{n-1}|a_k|<a_n$ ，cómo demostrar que f tiene $2n$ raíces en $[0,2\pi)$

Answer 1

Sugerencia : $$f(x_j)=a_n +\sum_{k=1}^{n-1}a_k \cos (kx_j)>0,\quad x_j=\frac{2j\pi}{n}, \; j=-n,-n+1,\cdots, n, $$ $$f(y_j)=-a_n +\sum_{k=1}^{n-1}a_k \cos(ky_j)<0,\quad y_j=\frac{(2j+1)\pi}{n},\ j=-n,-n+1,\ldots n-1. $$