Ayuda con una prueba $f(n) \leq c \times g(n)$

Question

$f(n)=100n+\log n,g(n)=n+(\log n)^2, n \in N_+$ . Demostrar que existe una constante $c > 0$ tal que $f(n) \leq c \times g(n)$ .

No sé cómo probar esto de forma rigurosa, cualquier ayuda será agradecida.

Answer 1

En primer lugar, hay que fijarse en los principales términos de $f$ y $g$ . El término principal para $f$ es $100n$ y el término principal para $g$ es $n$ . Por lo tanto, $c$ tendrá que ser al menos $100$ .

Dejemos que $c=100$ . Entonces, usted quiere demostrar que $$ 100n+\log n\leq 100n+100\log^2n. $$ En otras palabras, debe tener esa $\log n\leq 100\log^2n$ o que $1\leq 100\log n$ . Dependiendo del logaritmo que se utilice, esto es cierto para $n$ suficientemente grande (para la mayoría de los troncos comunes, esto es cierto para $n\geq 2$ ).