función de distribución acumulativa de una variable normal multivariante en un caso degenerado

Question

Dejemos que $X=\left[x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right]^{T}\in\mathbb{R}^{n}$ sea una variable normal multidimensional con el vector de la media $\mu_{X}\in\mathbb{R}^{n}$ y la covarianza $\Sigma\in\mathbb{R}^{n\times n}$ , donde $\Sigma$ no es de rango completo (el caso degenerado), y $b$ sea un número real. Sea $F\left(b\right)$ sea una función definida como sigue:

$F\left(b\right)=\mathbb{P}\left(x_{1}<b,x_{2}<b,\cdots,x_{n}<b\right).$

Creo que la función $F\left(b\right)$ es siempre continua, monótonamente no decreciente con respecto a la variable $b$ en alguna región $\left[b_{1},b_{2}\right]$ y su codominio es $\left[0,1\right]$ . Quiero decir que siempre existe $b$ tal que $F\left(b\right)=\alpha$ para un valor determinado $\alpha\in\left(0,1\right)$ . Sin embargo, no soy capaz de dar la prueba. ¿Podría alguien ayudarme con ello?

Answer 1

¿Quiere decir que para cualquier $\alpha$ ? Si es así, no estoy seguro de ello. Consideremos la distribución Normal "degenerada" que es una función constante. Tiene la media $\mu \in \mathbb{R}$ y varianza cero (por tanto, matriz de covarianza no invertible), y su distribución satisface, para $b \geq \mu$ , $$ P\left(X \leq b \right) {}={} 1 $$

y para $b < \mu$ ,

$$ P\left(X \leq b \right) {}={} 0 $$

Es evidente que no existe ninguna "b" tal que $F(b)=\alpha$ para un número infinito de " $\alpha$ " en $F$ de la empresa. Y $F$ aunque es monótona, es discontinua para cualquier dominio que contenga $\mu$ .