¿Cómo puedo calcular este volumen utilizando la integral doble?

Question

Intenté resolverlo tomando el $z = 4-x^2$ como el integrando y luego integrando con respecto a $x$ de $-2$ a $2$ . Entonces, con respecto a $y$ también de $-2$ a $2$ ya que la ecuación de frontera era $x^2 +y^2 = 4$ que era la ecuación de un círculo de radio $2$ . Entonces, ¿son mis límites correctos o son los límites de un cuadrado y no de un círculo? mi resultado fue $42.6$ unidad $^3$

Answer 1

Tus límites actualmente representan un cuadrado, no un círculo, y como @georg mencionó, usar coordenadas cilíndricas es agradable. Convirtiendo a ellas, obtenemos $$\int_0^{2\pi} \int_0^2 (4-x^2) \ rdrd\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4-(r\cos(\theta))^2) \ rdrd\theta$$ ¿Puedes terminar desde aquí?

Answer 2

Obsérvese que como $\;-2\le x\le2\;$ , obtenemos que $\;-\sqrt{4-x^2}\le y\le\sqrt{y^2-4}\;$ , sin en coordenadas rectangulares se obtiene

$$\int_{-2}^2\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}(4-x^2)\,dy\,dx=\int_{-2}^2\left[8\sqrt{4-x^2}-2x^2\sqrt{4-x^2}\right]\,dx\;\;(**)$$

En el primer caso, sustituya $\;\sin t=\frac x2\implies dx=2\cos t\,dt\;$ , y en la segunda hacer por partes:

$$\begin{cases}u=x,&u'=1\\{}\\ v'=-2x\sqrt{4-x^2}, &v=\frac23(4-x^2)^{3/2}\end{cases}$$

y entonces obtenemos

$$(**)=16\int_{-\pi/2}^{\pi/2}2\cos^2t\,dt-\left(\left.\frac{2x}3(4-x^2)^{3/2}\right|_{-2}^2-\frac23\int_{-2}^2(4-x^2)^{3/2}\right)$$

Ahora sigues (ya estoy cansado...), teniendo en cuenta que el término medio anterior es cero, y $\;\int\cos^2x\,dx=\frac{x+\sin x\cos x}2\;$ y etc. Necesitarás otra sustitución para la integral de la derecha, igual que la que hicimos arriba... ¡esto sí que es feo en coordenadas rectas!