Demostrar que todo el conjunto subyacente en un Sistema Peano con la relación de orden estricto( $<$ ) forma una única secuencia estrictamente ascendente

Question

Pregunta original: Demostrar que $1<2<3<4$ etc. en un sistema Peano

Considere un Sistema Peano estándar $(\mathbb{N},S,1)$ , donde $S:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ se define como $S(x) = x+1$ y tenemos los siguientes teoremas.

1. $(\forall x)(x=1 \lor (\exists y)(x = S(y))$
2. $(\forall x)(S(x) \neq x)$
3. x < S(x)
4. $\lnot(\exists y)(x < y < S(x))$
5. $x \neq 1 \Rightarrow $ 1 < x

$x<y$ se define como una abreviatura de $(\exists z)(x+z = y)$ .

También tenemos definida la adición, con ley conmutativa, asociativa y de cancelación.

editar 3

Como la pregunta se consideró ambigua por el uso de "..." o "etc", traté de hacer una investigación buscando cuál podría ser el significado de " $1<2<3<4$ etc.", y como dije en un comentario, este ejercicio está presente en una sección sobre la relación de orden. Así que empecé a buscar propiedades de orden y definiciones relacionadas.

Primero llegué a un documento sobre relaciones donde el autor da una explicación rápida sobre las relaciones de orden y muestra la equivalencia entre los conjuntos parcialmente ordenados (poset) y los grafos acíclicos dirigidos (DAG). En la sección 4.1 y 4.2 se presenta un teorema que afirma que un "poset no tiene ciclos dirigidos, salvo los bucles propios".

El documento mencionado anteriormente muestra un patrón $a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq a_4 ...$ que es similar al patrón indicado en la pregunta, pero no es el mismo. A partir de este punto he intentado encontrar la diferencia de órdenes que se establece con $<$ en lugar de $\leq$ . Entonces encontré la definición sobre órdenes parciales estrictas y no estrictas donde el DAG se relacionó con el orden estricto $<$ .

Pero después de este punto quise entender cuál es la diferencia entre el orden total y el parcial, así me hizo llegar a la página de la wikipedia sobre el orden total, que de hecho tiene una pequeña sección que define cadenas como: "El término cadena es un sinónimo de conjunto totalmente ordenado" y un caso más específico, Cadena ascendente como "conjunto totalmente ordenado que tiene un (único) elemento mínimo", de esta sección he pasado a la definición de Condición de la cadena ascendente que afirma en la primera línea la aseveración la no existencia de un secuencia estrictamente ascendente $a_1<a_2<a_3...$

Echando un vistazo a algunas definiciones como orden estrictamente ascendente o secuencia estrictamente creciente . He comprobado que todos ellos captan el mismo concepto como secuencia estrictamente ascendente que capta el mismo concepto expuesto por el autor de la pregunta original.

Por lo tanto, creo que la pregunta se puede plantear de una manera no ambigua, y estoy cambiando el título de acuerdo con estas conclusiones.

De "Prove " $1<2<3<4$ ",etc" a "Demostrar que todo el conjunto subyacente en un Sistema Peano con relación de orden estricta( $<$ ) forma una única secuencia estrictamente ascendente".

fin de la edición 3

Aquí está mi intento:

Desde $(5)$ está claro que $(\forall x)(1<x)$ Así, el orden comienza con,

$1 < x$ , donde a partir de $(1)$ , $x=1 \lor (\exists u)(x = S(u))$ si asumimos que $x \neq 1$ entonces por $(3,4)$ tenemos también que $u<S(u)$ y ningún elemento en $\mathbb{N}$ está entre $u$ y $S(u)$ .

Ahora bien, si tomamos $S(S(u))$ tenemos también por (3,4) que $S(u) < S(S(u))$ y no hay ningún elemento entre ellos. Así, para cualquier $x \neq 1$ tenemos $x=S(u)$ donde $u < S(u) < S(S(u))$ .

Si dejamos que $x=S(1)$ o $2$ nos encontramos con que: $1 < S(1) < S(S(1))$ o $1 < 2 < 3$ .

Si dejamos que $x=S(S(1))$ o $3$ obtenemos $S(1) < S(S(1)) < S(S(S(1)))$ o $2<3<4$

Por $(5)$ tenemos que $4<1)$

Así, si dejamos que $x=4$ obtenemos $3<4<5$ ,

Por $(5)$ tenemos que $1<5$ y por transitividad de $<$ cuando $x=3$ tenemos que $[2<3 \land 3<4]\Rightarrow 2<4$ pero si $[2<4 \land 4<5] \Rightarrow 2<5$

Así, tenemos $1<2<3<4<5...$

Editar 1 comenzar

Me di cuenta usando la definición de $<$ que si $x < y$ entonces tenemos $x+p = y$ para algunos $p \in \mathbb{N}$ y de esto tenemos que $S(x+p) = S(y)$ Por lo tanto $(x+p)+1 = s(y)$ y de la conmutatividad a la asociatividad de la adición $(x+1) + p = s(y)$ Así que $S(x) + p = S(y)$ entonces por definición $S(x) < S(y)$ Así que $x<y \Rightarrow S(x) < S(y)$ .

Aquí es donde empezamos $1<2$ lo cual es cierto por $(5)$ y de la conclusión anterior $1<2 \Rightarrow 2<3$ pero si $2<3$ entonces $3<4$ ...

Sigo sin saber cómo evitar el (...)

Edición 1 fin

Editar 2 comenzar Aquí estoy intentando otro enfoque que sigue la idea de la edición 1.

Primero tenemos que $x<S(x)$ por (3), de lo que se deduce que $x+p = S(x)$ para algunos $p$ en $\mathbb{N}$ , a saber $p=1$ De ello se desprende que $S(x+p) = S(S(x))$ y luego $S(x)+p = S(S(x))$ por lo que por definición de $<$ tenemos que $S(x)<S(S(x))$ y por lo tanto $x<S(x) \Rightarrow S(x)<S(S(x))$ .

Tenemos que $1<S(1)$ desde $1+1=S(1)$ por lo que si tomamos un segmento inicial $I_n$ de $\mathbb{N}$ de $1$ hasta $n$ . Digamos que $n=4$ hemos definido $I_4 = \{1,2,3,4\}$ Primero tenemos que $1<2$ es verdadera por (5) entonces tenemos que $1<2 \Rightarrow 2<3 \Rightarrow 3<4$ . Se puede codificar como $(1<2) \land (2<3) \land (3<4)$ de esto se deduce que $1<2<3<4$ .

Ahora dejemos que $A = \{x : x \in \mathbb{N} \land x < S(x)\}$ En primer lugar, tenemos que $1 \in A$ desde $1 \in A \land 1 < S(1)$ Ahora suponemos que $x \in A$ por lo que tenemos que $x \in \mathbb{N} \land x<S(x)$ pero tenemos que $x<S(x) \Rightarrow S(x) < S(S(x))$ entonces $S(x) \in A$ . Hemos demostrado que $x \in A \Rightarrow S(x) \in A$ . entonces por inducción matemática $A = \mathbb{N}$ .

Como hemos $x<S(x)$ para cualquier $x \in \mathbb{N}$ Ahora tomamos el segmento inicial $I_n$ de $\mathbb{N}$ de 1 a $n \in \mathbb{N}$ y tenemos que $1<2<3<4,etc$ es cierto en $I_n$ , donde $etc$ sube a $n$ , como $n$ es arbitrario $1<2<3<4,etc$ es cierto en $\mathbb{N}$ .

Edición 2 fin

Creo que se puede repetir el mismo proceso utilizando todos los $x \neq 1$ en $\mathbb{N}$ pero el uso de $...$ (puntos) a su vez lo que tengo que hacer imprecisa, así que ¿cómo Im supone que hacer esta prueba?

Answer 1

Demostremos que $<a_i>$
Dónde:
$a_0=1$
$a_i=S(a_{i-1})$
es una secuencia estrictamente ascendente.
Tenemos que demostrar dos cosas:

1. Es estrictamente creciente, clara consecuencia del teorema $(3)$ .
2. Es todo el conjunto $P$ Esto se puede demostrar por el axioma 3, $<a_i>$ contiene uno y es cerrado bajo sucesión( $S(a_i)=a_{i+1}$ ) por definición.

Answer 2

En el supuesto de que $$\forall x\forall n \forall y<n,x<\overbrace{S(S(S\ldots}^{y \text{ times}} (x) \ldots)< \overbrace{S(S(S\ldots}^{n \text{ times}} (x) \ldots)$$ Es la afirmación que quieres demostrar (o un caso específico de la misma), primero, voy a demostrar que $$\forall x \forall n, x<\overbrace{S(S(S\ldots}^{n\text{ times}}(x) \ldots )$$ Por inducción en $n$ .
Caso base $n=1$ : $ (3)$ $$\begin{align} x< \overbrace{S(S(S\ldots}^{n-1\text{ times}}(x) \ldots)\\ x< \overbrace{S(S(S\ldots}^{n-1\text{ times}}(x) \ldots) < S(\overbrace{S(S(S\ldots}^{n-1\text{ times}}(x) \ldots)) && \text{by} \tag 3\\ x < \overbrace{S(S(S\ldots}^{n\text{ times}}(x) \ldots )&& \text{by transitivity}\end{align}$$ Reordenando los cuantificadores en la cosa que tenemos que demostrar $$\forall x\forall y \forall n>y,x<\overbrace{S(S(S\ldots}^{y \text{ times}} (x) \ldots)< \overbrace{S(S(S\ldots}^{n \text{ times}} (x) \ldots)$$ Podemos ver que la primera parte es la que acabamos de demostrar con $x=x$ y $n=y$ y la segunda parte es la que probamos con $x=y$ y $n=n-y$ (utilizando la definición de >, $n= y + (n-y)$ )