Ecuaciones lineales diofantinas en $3$ variables.

Question

Esta pregunta tiene dos partes.

Parte $1$ :

He estado aprendiendo a resolver Ecuaciones Diofantinas Lineales (EDL) en 3 variables y hasta ahora, me he encontrado con dos métodos:

Método $1$ :

Problema : Encontrar soluciones integrales positivas de $7x+11y+26z=123.$

Solución : El mayor coeficiente es $26$ y $7+11+26z\leq 123,$ por lo que $z\leq 4.$ Por lo tanto, las únicas posibilidades son: $$z=1, 7x+11y=97,\text{ of which there is one solution }(6,5),$$ $$z=2, 7x+11y=71,\text{ of which there is one solution }(7,2),$$ $$z=3, 7x+11y=45,\text{ of which there is no solution},$$ $$z=4, 7x+11y=45,\text{ of which there is no solution}.$$ Por lo tanto, hay dos soluciones en números enteros positivos, a saber $(6,5,1)$ y $(7,2,2)$ .

Método $2$ :

Problema : Determinar las soluciones integrales de $3x+4y+5z=6.$

Solución : Tenemos $3x+4y\equiv 1 \pmod 5;$ por lo que $3x+4y=1+5s$ para algún número entero $s.$ Observe que $x=-1+3s, y=1-s$ satisface esta ecuación y, por tanto, una solución general es $x=-1+3s+4t,y=1-s-3t$ para algunos $t.$ Sustituyendo estos valores en la ecuación original obtenemos $z=1-s.$

Dudas sobre los métodos anteriores :

1. Es el método $1$ ¿una forma general de resolver las LDEs en 3 variables o es sólo un truco? Además, me he dado cuenta de que no sirve para resolver la segunda EDL ya que $3+4+5z\leq 6\Rightarrow z\leq -0.2$ que básicamente significa que no tenemos ningún valor de positivo $z$ satisfaciendo la ecuación. ¿Significa eso que la segunda EDL no tiene ninguna solución integral positiva?
2. ¿Cómo podemos imponer límites integrales a los parámetros $s$ y $t$ Si queremos obtener soluciones positivas He intentado hacer lo siguiente: $$x\geq 0\Rightarrow -1+3s+4t\geq 0\Rightarrow 3s+4t\geq 1$$ $$y\geq 0\Rightarrow 1-s-3t\geq 0\Rightarrow s+3t\leq 1$$ $$z\geq 0\Rightarrow 1-s\geq 0\Rightarrow s\leq 1$$ Más allá de esto, no pude deducir nada significativo.

Parte $2$ :

Después de haber aprendido sobre la resolubilidad de tales ecuaciones, una pregunta natural que nos viene a la mente es: cuántas soluciones integrales positivas admite una EDL en tres variables, para una salida dada. Supongamos que tenemos una EDL en tres variables $$ax+by+cz=n,\text{ where }\gcd(a,b,c)|n$$ entonces cuántos triples $(x,y,z)$ existe tal que $x,y,z\geq 0?$ Supongo que esto está relacionado con la última pregunta de la parte $1$ porque si podemos acotar los parámetros, entonces podemos obtener simplemente el número de soluciones contando los valores satisfechos por $s$ y $t$ .

Answer 1

El método 1) no es un truco: es la proyección del plano de la ecuación sobre un plano 2D. Para hacerlo de forma eficiente, se elige la variable (supongamos $z$ ) con el coeficiente más alto, asignarle cada valor posible y proyectarlo como línea sobre el plano de las restantes variables ( $x,y$ ).
Para determinar el rango de valores posibles para $z$ Ya que usted está requiriendo soluciones positivas (excluyendo así el $0$ ) , usted asigna $1$ (el más bajo) a $x$ y $y$ y entonces se obtiene una desigualdad como en el ejemplo que has puesto.

Aplicando este método al segundo ejemplo ( $3x+4y+5z=6$ ) se deduce correctamente que el rango posible para $z$ está vacío, ya que no hay positivo soluciones a esta ecuación.

Que yo sepa, desgraciadamente no hay una general "fórmula" para resolver la LDE 3D (al menos no una simple), y también los algoritmos para calcularlos se vuelven computacionalmente pesados para grandes coeficientes.