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Infinitesimales en los gradientes

Tome la función $y(\vec v)$ tal que $y:\mathbb R^n\to\mathbb R$ . Dada su inclinación $\nabla y = \left(\frac{\partial y}{\partial v_1},\cdots,\frac{\partial y}{\partial v_n}\right)$ es posible afirmar que para una constante real $\lambda$ ,

$$ \nabla \left(\frac 1\lambda\cdot y\right) = \frac 1\lambda\cdot\nabla y $$

Pero suponiendo que la función $y(\vec v)$ puede representarse mediante una derivada $\frac{dz}{dx}$ donde x es un escalar. Entonces el gradiente se convierte en $\nabla \frac{dz}{dx}$ . ¿Sería correcto afirmar lo siguiente, o no puedo tratar los infinitesimales como números reales?

$$\nabla \frac{dz}{dx} = \frac{1}{dx}\cdot\nabla dz$$

Se agradece mucho.

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En el fondo hay una función escalar $$z:\>{\mathbb R}^n\times{\mathbb R}\to{\mathbb R},\qquad(v,t)\mapsto z(v,t)$$ de $n$ variables espaciales $v_k$ y el tiempo $t$ . Supongamos que $$z(\cdot,\cdot)\in C^2({\mathbb R}^{n+1})\tag{1}$$ para simplificar las cosas. La derivada temporal $$y(v,t):={\partial z\over\partial t}(v,t)$$ de $z(\cdot,\cdot)$ es de nuevo una función de las variables espaciales $v_k$ y $t$ . Al principio de tu post hablas del gradiente de $y(\cdot,\cdot)$ que es, por definición, el campo vectorial (dependiente del tiempo) $$\nabla y(v,t):=\left({\partial y(v,t)\over\partial v_1},\ldots, {\partial y(v,t)\over\partial v_n}\right)$$ (el $\nabla$ sólo actúa sobre las variables espaciales).

La cuestión ahora es si este gradiente $\nabla y(v,t)$ puede considerarse como la derivada temporal del gradiente $\nabla z(v,t)$ . La respuesta es ; uno tiene $$\nabla y(v,t)={\partial\over\partial t}\nabla z(v,t)\qquad\bigl((v,t)\in{\mathbb R}^n\times{\mathbb R}\bigr) .$$ La razón es sencilla: La suposición $(1)$ garantiza que los "parciales mixtos" son iguales. Por lo tanto, no importa si primero diferenciamos con respecto a un $v_k$ o con respecto a $t$ .

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