¿Existe una buena manera de describir la forma de la matriz inversa de una "matriz de n por n en forma canónica de Jordan"? Sé cómo debería ser, pero no sé cómo describirla... A modo de ejemplo: aquí .
Además, ¿hay una forma sencilla de obtener el JCF de esta inversa?
En primer lugar, tu ejemplo no es la inversa de una forma canónica de Jordan. Si lo fuera, todos los coeficientes a lo largo de la diagonal principal deberían ser iguales: $a = b = c= d$ .
He estado haciendo algunos experimentos con Matlab y estoy haciendo algunas conjeturas. Sea
$$ J = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & \lambda & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & \lambda \end{pmatrix} $$
sea un bloque de Jordan.
Conjetura 1.
$$ J^{-1} = \begin{pmatrix} 1/\lambda & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ -1/\lambda^2 & 1/ \lambda & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1/\lambda^3 & -1/\lambda^2 & 1/\lambda & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ (-1)^{n-2}1/\lambda^{n-1} & (-1)^{n-3}1/\lambda^{n-2} & (-1)^{n-4}1/\lambda^{n-3} & \dots & 1/\lambda & 0 \\ (-1)^{n-1}1/\lambda^n & (-1)^{n-2}1/\lambda^{n-1} & (-1)^{n-3}1/\lambda^{n-2} & \dots & -1/\lambda^2 & 1/\lambda \end{pmatrix} $$
Conjetura 2.
La forma canónica de Jordan de $J^{-1}$ es
$$ \begin{pmatrix} 1/\lambda & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 1/\lambda & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1/\lambda & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1/\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 1/\lambda \end{pmatrix} $$
Conjetura 3.
La matriz de cambio de base (es decir, la matriz de vectores propios generalizados) es, al menos para $n=2, 3$ (Me da pereza escribir la fórmula general):
$$ S_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1/\lambda \\ \end{pmatrix} \qquad \qquad S_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1/\lambda^2 & 0 \\ 0 & 1/\lambda^3 & 1/\lambda^4 \end{pmatrix} $$
EDITAR. Vale, entonces la "conjetura" 1 es cierta -y bien conocida, como ha señalado J.M. En cuanto a la conjetura 2, creo que también es cierta. Aquí está mi prueba.
De forma más general, encontremos la forma canónica de Jordan de una matriz triangular como
$$ A = \begin{pmatrix} a_1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ a_2 & a_1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ a_3 & a_2 & a_1 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n-1} & a_{n-2} & a_{n-3} & \dots & a_1 & 0 \\ a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \dots & a_2 & a_1 \end{pmatrix} $$
Es decir, nuestro $J^{-1}$ . De hecho en lo que sigue las únicas dos cosas que necesitamos son:
El resto de las entradas pueden ser las que quieras.
Bien, entonces el polinomio característico es claramente
$$ Q_A(t) = \pm (t - a_1)^n $$
-así que sólo tenemos un valor propio: $a_1$ - y el rango de la matriz $A - a_1 I$ es $n-1$ por eso $a_2 \neq 0$ . Por lo tanto, la dimensión del espacio nulo de $A - a_1 I$ es $1$ . Así que sólo hay una $n\times n$ El bloque de Jordan, es decir, el que tiene el valor propio $a_1$ .
La inversa de un bloque de Jordan $x$ con parámetros $$ (\lambda,n)\in\mathbb C^\times\times\mathbb Z_{ > 0 } $$ es un bloque de Jordan con parámetros $(\lambda^{-1},n)$ y su inversa se da como se describe a continuación.
Poner $A:=K[X]/(X^n)$ , donde $K$ es un campo, $X$ un indeterminado, y $n$ un número entero positivo. Sea $x$ sea la imagen canónica de $X$ en $A$ y $\lambda$ un elemento no nulo de $K$ . Poner $$ y:=\sum_{i=1}^{n-1}\ \frac{x^i}{\lambda^{i+1}}\quad. %\tag1 $$ Entonces, claramente, $\lambda^{-1}+y$ es la inversa de $\lambda-x$ y el polinomio mínimo de $y$ es $X^n$ .
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