¿Cuáles son las posibles formas de construir matrices J (matrices de Pauli de orden superior)?

Question

Estoy buscando posibles formas de construir $J$ -matrices. $J$ -son la versión de orden superior de las matrices de Pauli. Las matrices de Pauli son adecuadas para sistemas de espín 1/2, mientras que las matrices J pueden ser para cualquier sistema de espín, 1 o 3/2 o 2 o cualquier otro.

Mi forma favorita :

Mi forma favorita de construir matrices J es utilizando Matrices D de Wigner . Partiendo de los valores propios de la $J_z$ operador (suponiendo que $z$ es el eje de cuantización), que son muy triviales de derivar sistemáticamente. Por ejemplo, para un sistema de espín 1:

$$J_z=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0\text{} & 0 & -1 \end{matrix}\right)$$

Ahora giramos este operador con Matrices D de Wigner para obtener un hipotético vector que apunte a lo largo de $z$ para conseguir una vez a lo largo de $x$ y una vez a lo largo de $y$ . Esto creará $J_x$ y $J_y$ .

Sin embargo, esto supone que conozco las matrices D de Wigner, cosa que no sé (porque mi problema es computacional, y no quiero calcular las matrices D de Wigner).

Así que mi pregunta es: ¿Existe una forma más sencilla de derivar el $J$ matrices? La forma más sencilla que me gustaría es que hubiera una manera de derivarlas de las matrices de Pauli.

Answer 1

De hecho, hay una manera mucho más fácil de derivar esas matrices. Lo que realmente buscas es la representación matricial del $\mathfrak{su}(2)$ Generadores del álgebra de Lie $J_x$ , $J_y$ y $J_z$ en el irreducible $\mathrm{SU}(2)$ representación con giro $j$ dado por

$$ J_z|j,m\rangle = m |j,m\rangle,\quad J_\pm|j,m\rangle = C_\pm(j,m) |j,m\pm 1\rangle, $$ con $$ J_\pm=J_x \pm i J_y $$ y $$ C_\pm(j,m)=\sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}. $$ Las representaciones matriciales de $J_z$ y $J_\pm$ en esta base son $$ J_z=\begin{pmatrix} j\\ & j-1\\ && \ddots\\ &&& -j+1\\ &&&& -j \end{pmatrix} $$ $$ J_+= \begin{pmatrix} 0 & C_+(j,j-1)\\ & 0 & C_+(j,j-2)\\ && \ddots\\ &&& 0 & C_+(j,-j)\\ &&&& 0 \end{pmatrix} $$ $$ J_-= \begin{pmatrix} 0 \\ C_-(j,j) & 0\\ && \ddots\\ && C_-(j,-j+2) &0\\ &&& C_-(j,-j+1) &0 \end{pmatrix}, $$ y puedes recuperar $J_x$ y $J_y$ como $$ J_x=\frac{J_+ + J_-}{2},\quad J_y=\frac{J_+ - J_-}{2i}. $$ Por ejemplo, con $j=1$ se obtendría $$ J_z=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0& 0 & -1 \end{pmatrix},\quad J_x=\frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0& 1 & 0 \end{pmatrix},\quad J_y=\frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix}0 & -i & 0\\ i & 0 & -i\\ 0& i & 0 \end{pmatrix}. $$