Una pregunta sobre sumas y factoriales

Question

Considere la suma $S=x!+\sum_{i=0}^{2013}i!$ , donde $x$ es un número entero no negativo de una cifra. ¿Cuántos valores posibles de $x$ están ahí para que S sea divisible por 4?

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\sum_{i=0}^{2013}i!\equiv\sum_{i=0}^3i!\pmod 4\equiv 0!+1!+2!+3!=10 $$

Answer 2

SUGERENCIA: Tenga en cuenta que $k!$ es divisible por $4$ para todos $k\ge 4$ Así que

$$\sum_{k=0}^{2013}k!=0!+1!+2!+3!+\sum_{k=4}^{2013}k!=10+4n=2+4(n+2)$$

para algún número entero $n$ . Así, $S$ es divisible por $4$ si y sólo si $x!+2$ es divisible por $4$ .

Answer 3

Si ampliamos la suma, obtenemos que $$0!+1!+2!+3!+4\left(\frac{4!}{4}+\frac{5!}{4}+...+\frac{2013!}{4}\right)=10+4\left(3!+\frac{5!}{4}+...+\frac{2013!}{4}\right).$$

Ahora hemos determinado que $x!+10$ debe ser congruente con $0$ mod $4$ .

Answer 4

Una pista:

Todos los factoriales de $4!$ a $2013!$ son divisibles por $4$ por lo que la suma de ellos también es divisible por $4$ .

$0!+1!+2!+3!=10$ .

Tienes que resolver eso $x! +10$ es divisible por $4$ .

Buena suerte.