¿Forma cerrada para la exponencial de una matriz de 3x3 del álgebra de Lie?

Question

Matrices de la forma $$\begin{pmatrix} iz+iy&-iz+w&-iy-w\\ -iz-w&iz+ix&-ix+w\\ -iy+w&-ix-w&iy+ix\end{pmatrix}$$ donde $x,y,z,w$ pueden suponerse reales, forman un álgebra de Lie. Es decir, tales matrices son cerradas bajo la adición y la multiplicación, e incluyen los inversos, el cero y la unidad. Cada fila o columna suma a cero. ¿Puede ponerse en forma cerrada la exponenciación de esta matriz?

Es decir, podemos resolver: $$\begin{pmatrix} u_{11}&u_{12}&u_{13}\\ u_{21}&u_{22}&u_{23}\\ u_{31}&u_{32}&u_{33}\end{pmatrix} = \exp \begin{pmatrix} iz+iy&-iz+w&-iy-w\\ -iz-w&iz+ix&-ix+w\\ -iy+w&-ix-w&iy+ix\end{pmatrix}$$ en forma cerrada para todos los $u_{jk}$ ?

Answer 1

En primer lugar, para ser un álgebra de Lie tiene que ser cerrada bajo conmutador, no bajo multiplicación matricial. Esta no es cerrada bajo la multiplicación de matrices (si se requiere que las x,y,z,w sean reales), aunque sí es cerrada bajo el conmutador. En cuanto a la exponencial matricial, se puede calcular de forma cerrada, por ejemplo, con Maple utilizando el comando MatrixExponential. El resultado, sin embargo, es muy complicado, demasiado grande para ser copiado aquí.