Punto interior y funcional de Minkowski

Question

Quiero demostrar para un conjunto convexo que contiene cero un punto $x$ es interior si el valor del funcional de Minkowski en ese punto es estrictamente menor que $1$ . ¿hay alguien que me ayude?

Answer 1

A menos que se hagan suposiciones adicionales sobre el conjunto convexo, esto no es cierto en general. Consideremos el conjunto $$A = \{ (x,0) \colon x \in [-1,1] \}$$ en $\mathbb R^2$ . El correspondiente funcional de Minkowski $p_A$ evalúa a $p_A(x_0) = 1/2$ en $x_0 = (1/2, 0)$ Sin embargo $x_0$ no es un punto interior de $A$ (ya que $A$ no tiene interior).