La regla de oro de Fermi y la densidad de los estados

Question

Conozco la Regla de Oro de Fermi en la forma

$$\Gamma_{fi} ~=~ \sum_{f}\frac{2\pi}{\hbar}\delta (E_f - E_i)|M_{fi}|^2$$

donde $\Gamma_{fi}$ es la tasa de transición de probabilidad, $M_{fi}$ son los elementos de la matriz de transición.

Estoy luchando por hacer una derivación basada en la densidad de estados. Sé que bajo ciertas circunstancias es una buena aproximación sustituir $\sum_f$ con $\int_F \rho(E_f) \textrm{d}E_f$ para calcular la probabilidad de transición, para algún rango de energía $F$ .

Haciendo este cálculo obtengo

$$\Gamma_{fi} ~=~ \int \rho(E_f) \frac{2\pi}{\hbar}\delta (E_f - E_i) |M_{fi}|^2\textrm{d}E_f.$$

Ahora bien, suponiendo que el $M_{fi}$ son constantes en el rango de energía bajo la integral obtenemos

$$\Gamma_{fi} ~=~ \rho(E_i) \frac{2\pi}{\hbar} |M_{fi}|^2.$$

Ahora bien, esto es en absoluto lo que está escrito en cualquier otro lugar. Otras fuentes tiran de la $\rho(E_f)$ de la integral para obtener La regla de oro de Fermi de la forma

$$\Gamma_{fi} ~=~ \rho(E_f) \frac{2\pi}{\hbar} |M_{fi}|^2$$

para cualquier $f$ con $E_f$ en $F$ que tiene mucho más sentido físico. Pero, ¿por qué está mal lo que he hecho? En todo caso debería ser más preciso, ¡porque realmente he hecho la integral! ¿Dónde me he perdido algo?

Answer 1

Tal y como propone Lubos, la función delta con la que has empezado $\delta(E_i-E_f)$ obliga a que el resultado final sea invariable por $E_i \leftrightarrow E_f$ .

Answer 2

I) Bueno, evidentemente OP sabe que es la densidad $\rho_f(E_f)$ de final (en lugar de inicial ) que aparecen en La regla de oro de Fermi

$$\tag{1} \Gamma_{fi} ~=~ \rho_f(E_f) \frac{2\pi}{\hbar} |W_{fi}|^2.$$

Aquí adornamos la densidad $\rho_f$ con un subíndice $f$ para aclarar este punto, siguiendo una sugerencia de MarkWayne. En cambio, parece que la pregunta real de OP es:

¿Debe la energía $E_f$ [que aquí denota una media pertinente de estados finales que sumamos en un intervalo de energía suficientemente pequeño, y que aparece dentro de $\rho_f(E_f)$ en la ecuación (1)] coinciden aproximadamente con la energía $E_i$ del estado inicial $i$ ¿o no?

II) Un papel crucial lo desempeña el dependencia del tiempo del potencial de interacción $V(t)$ en el Hamiltoniano

$$\tag{2} H~=~H_0+V(t).$$

Por ejemplo, en la perturbación armónica [1], el potencial de interacción es

$$\tag{3} V(t)~=~\sum_{\pm}W^{\pm} e^{\pm\mathrm{i}\Omega t}, $$

donde $\Omega$ es la frecuencia angular de absorción/emisión estimulada. (Necesitamos al menos dos en el potencial (3) para que el operador de interacción $V(t)$ Hermitiano). Se puede demostrar que esto favorece las transiciones de la forma

$$\tag{4} E_f~\approx~E_i\pm\hbar\Omega.$$

Así que en la perturbación armónica, $\rho_f(E_f)$ y $\rho_f(E_i)$ son en general diferentes.

III) Sin embargo, en las derivaciones de La regla de oro de Fermi en muchos libros de texto elementales (que siempre utilizan dependiente del tiempo teoría de la perturbación), el término de interacción $V(t)$ suele tratarse como independiente del tiempo (correspondiente a $\Omega=0$ ). Esto significa que el estado inicial y final en tales tratamientos independientes del tiempo deben tener aproximadamente la misma energía, cf. también un comentario de Lubos Motl.

Para más información, véase también, por ejemplo este Respuesta de Phys.SE.

Referencias:

1. J.J. Sakurai, Mecánica Cuántica Moderna, 1994, sección 5.6.

Answer 3

Aunque las respuestas anteriores ya han respondido a tu pregunta, me gustaría recomendarte un artículo mío: Dinámica no lisa y resuelta por niveles ilustrada con un modelo de unión estrecha impulsado periódicamente .

En este trabajo, derivamos la regla de oro de Fermi como un subproducto. Nuestra derivación no utiliza la función delta.

Creo que nuestra derivación es mucho más sencilla y transparente que las de los libros de texto. Es sólo una propiedad matemática de la Sin función.