Espacio lineal cerrado en un espacio de Hilbert definido como las sumas de series incondicionalmente convergentes

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert sobre números complejos y sea $U \subset H$ .

Entonces, el tramo lineal cerrado de $U$ se define como $$T = \left\{ \sum_{u \in U} c_n u \mid c_n \text{ complex } , \sum_{u \in U} c_n u \text{ converges unconditionally} \right\}.$$

Pero, ¿cómo puedo ver que este conjunto está cerrado?

Answer 1

No está necesariamente cerrado. Por ejemplo, considere $H=\ell^2(\mathbb N)$ y $U=\{e_1-e_2,e_2-e_3,...\}$ (denotar a partir de ahora $e_k-e_{k+1}$ por $u_k$ ).

Tienes que $e_1$ se encuentra en el cierre del tramo lineal, ya que es el límite $$e_1=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\frac{N-n+1}N\ u_n$$ pero no en el "tramo lineal cerrado" tal y como se define aquí. Para ver esto supongamos $e_1=\sum_n c_n u_n$ donde la suma converge (¡una condición más débil que la convergencia incondicional!), a partir de la continuidad del producto escalar se obtiene (con $k\neq1$ ): $$1=\langle e_1,\sum_n c_n\,u_n\rangle=\sum_nc_n\langle e_1,u_n\rangle=c_1\\ 0=\langle e_k,\sum_nc_n u_n\rangle=\sum_nc_n\langle e_k,u_n\rangle=c_{k}-c_{k-1}$$ Se deduce de la inducción $c_k=1$ para todos $k$ . Así que: $$\|e_1-\sum_n^N u_n\|=\|-e_{N+1}\|=1$$ y la suma no converge a $e_1$ ¡!