Factorización de estados de dos partículas en estado interno y movimiento relativo

Question

Tomado de Subatomic Physics, de Henley y García (cap. 9, p. 242)

(...)

$$ a +b \to c+ d$$

Simbólicamente, el estado inicial puede describirse como

$$ |\text{initial}\rangle = |a\rangle |b\rangle |\text{relative motion}\rangle$$

donde $|a\rangle$ y $|b\rangle$ describir el estado interno de las dos partículas subatómicas y $|\text{relative motion}\rangle$ es la parte de la función de onda característica del movimiento relativo de $a$ y $b$ .

Creo que mi formación en mecánica cuántica no relativista es bastante sólida, pero nunca me he encontrado con una notación así. Lo que quería saber es, ¿cuál es su precisa ¿significado? ¿Existe algún supuesto para dicha factorización?

Supongamos que lo único que sé es que un estado de dos partículas es un elemento del producto tensorial $\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2$ , donde $\mathcal{H}_i$ es el espacio de una sola partícula.

Gracias de antemano.

Answer 1

Se tiene un sistema de dos partículas compuesto por las partículas A y B. Cada partícula tiene un espacio de Hilbert dado por, por ejemplo $\mathcal{H}_A= \mathcal{H}_{int,A} \otimes \mathcal{H}_{space,A}$ donde el primer factor describe las propiedades internas (por ejemplo, el espín) mientras que el segundo describe las propiedades traslacionales (la función de onda espacial).

Creo que la notación que estás viendo sólo significa que han agrupado el estado de dos partículas como:

$\mathcal{H}=\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B=\mathcal{H}_{int,A} \otimes \mathcal{H}_{int,B}\otimes\mathcal{H}_{space,A} \otimes \mathcal{H}_{space,B}$

Si el Hamiltoniano sólo acopla los estados en el espacio y no sus movimientos internos, entonces un estado producto comenzará genéricamente como $|int_A\rangle |int_B\rangle |space_A \rangle |space_B \rangle $ y evolucionan hacia algún estado enredado $|int_A\rangle |int_B \rangle |space_{A,B}\rangle$ así que supongo que su fuente ha decidido escribir la factorización del subespacio como

$$\mathcal{H}=\mathcal{H}_{int,A}\otimes\mathcal{H}_{int,B}\otimes\mathcal{H}_{space,AB}$$

Han llamado al último factor "movimiento relativo", pero creo que sólo se refiere a la función de onda espacial (entrelazada) para ambas partículas (aunque es un sistema de dos cuerpos, por lo que podrían estar insinuando que uno debería hacer la configuración habitual de dos cuerpos con masas reducidas, etc.).

Answer 2

El "estado interno" aquí debe ser una referencia a la estructura interna de una partícula que no es en sí misma fundamental (es decir, no un quark o un electrón, pero podría ser un pión o un nucleón). Entonces su ${\cal H}_1$ , ${\cal H}_2$ se refieren a los grados de libertad internos, como el contenido de los quarks. (Con un par de átomos sería el estado de los electrones). Cuando se quiere considerar el movimiento de la partícula como un todo, se necesita la posición de su centro de masa, representada por un operador de posición $\hat{\bf x}$ . Para dos partículas cada una tiene un operador de este tipo. El ket etiquetado como "movimiento relativo" está en un espacio de Hilbert que describe estos grados de libertad de movimiento externo. Están en un producto tensorial con los otros grados de libertad de forma normal. (Igual que el espín está en un producto tensorial con los grados de libertad espaciales).

Una situación análoga se produce cuando hablamos de un átomo como el hidrógeno. Normalmente sólo nos interesan los grados de libertad internos, por lo que introducimos una función de onda $\psi(\bf r)$ donde ${\bf r} = {\bf r}_e - {\bf r}_p$ es la coordenada relativa. O hablamos de un vector de estado $|n,l,m\rangle$ que también se refiere sólo al movimiento del electrón con respecto al protón, por lo que se llama "estado interno". Pero si queremos considerar el movimiento de todo el átomo, por ejemplo para discutir su momento cuando interactúa con una onda luminosa, entonces recordamos que también tiene la posición del centro de masa ${\bf R} = (m_p {\bf r}_p + m_e {\bf r}_e)/(m_p+m_e)$ y un estado de movimiento asociado que podría ser etiquetado, por ejemplo, por el momento $P$ del átomo completo. Entonces el estado completo viene dado por $ |n,l,m\rangle \otimes |P\rangle$ .