Dividir un polinomio entre un binomio utilizando el teorema del resto

Question

Un libro de texto de nivel A afirma que se puede encontrar el cociente por primera vez:

1.) Establecer una identidad, $f(x)≡ Q(x)(divisor) + remainder$

2.) Encontrar los coeficientes

Sin embargo, otro libro de texto de nivel A dice: "Nota. Este teorema da un método (simple) para evaluar el resto solamente. Si se requiere el cociente, se debe utilizar la división larga".

La pregunta es: Dividir $x^3 + x^2 - 7$ por $x-3$ utilizando el teorema del resto.

En este ejemplo,

1.) Establecen la identidad: $x^3 + x^2 - 7 ≡ (Ax^2 + Bx + C)(x-3) + D$

2.) Dejan $x=3$ para encontrar el coeficiente $D$

3.) Dejan $x=0$ para encontrar el coeficiente $C$

4.) Para encontrar los coeficientes $A$ y $B$ El libro de texto pasa a continuación a "comparar los coeficientes". No se dan más detalles sobre cómo "comparar los coeficientes" para encontrar $A$ y $B$ se logra.

¿Puedes encontrar los coeficientes $A$ y $B$ ¿usando este método SOLO? Si es así, ¿cómo?

Answer 1

Asumiendo que la ecuación debía ser:

$$x^3+x^2-7 = (Ax^2+Bx+C)(x-3)+D$$

Configuración $x=3$ , vemos que $3^3+3^2-7 = 29 = D$ .

Configuración $x=0$ vemos que $-7 = D-3C=29-3C$ Así que $C=12$ .

Configuración $x=1$ vemos que $-5=(A+B+12)(-2)+29$ o $A+B+12 = 17$ .

Configuración $x=2$ vemos que $5 = (4A+2B+12)(-1)+29 = 4A+2B+12 = 24$ .

Así que ahora tienes dos ecuaciones lineales para $A,B$ Y tú puedes resolverlos.

(Definitivamente, rehacer mi aritmética, podría ser un error).

Answer 2

Escribimos $$x^3 + x^2 - 7 ≡ (Ax^2 + Bx + C)(x-3) + D.\tag{1}$$ Poner $x=3$ . Eso mata convenientemente a todos menos a $D$ a la derecha. Sustituyendo a la izquierda, obtenemos que $D=3^3+3^2-7=29$ . Podemos seguir haciendo otras sustituciones sencillas, y obtener ecuaciones lineales que determinen nuestros coeficientes.

Pero usted preguntó sobre comparando los coeficientes . Esto se hace de la siguiente manera. Expandir el lado derecho de (1). En concreto, se multiplica $(Ax^2 + Bx + C)(x-3)$ . Obtenemos después de un tiempo que el lado derecho es igual a $$Ax^3 +(-3A+B)x^2 +(-3B+C)x -3C+D.$$

Este tiene que ser el mismo polinomio como $x^3+x^2-7$ .

Así que los coeficientes de $X^3$ debe ser el mismo. Esto significa que $A=1$ .

Los coeficientes de $x^2$ debe ser el mismo. Esto significa que $-3A+B=1$ .

Los coeficientes de $x$ debe ser el mismo. Esto significa que $-3B+C=0$ .

Y los términos constantes deben ser los mismos. Esto significa que $-3C+D=-7$ .

Ahora resuelve. Ya sabemos $D=27$ una forma "rápida". El resto de los coeficientes son ahora fáciles de recoger.

Answer 3

(No estoy completamente seguro de que esto sea lo que está buscando).

Dejemos que $$p(x) = x^3 + x^2 - 7 = (Ax^2 + Bx + C)(x-3) + D.$$

Quieres encontrar $A,B,C,$ y $D$ . Tenga en cuenta primero que está dividiendo por $x-3$ por lo que el resto de la división será una constante. Es decir, tenemos $$\begin{align} {\color{blue} 1}x^3 + {\color{red} 1}x^2 + {\color{gray} 0}x + {\color{green}{-7}} &= {\color{blue}A}x^3 + {\color{red}B}x^2 + {\color{gray}C}x + {\color{red}{-3A}}x^2 + ({\color{gray}{-3B}})x + ({\color{green}{- 3C + D}})\\ &= {\color{blue}A}x^3 + ({\color{red}{B - 3A}})x^2 + {\color{gray}{(C - 3B)}}x + ({\color{green}{- 3C + D}}) \end{align} $$ Ahora bien, sabes que dos polinomios son iguales si y sólo si los coeficientes coinciden. Es decir, debemos tener $$\begin{align} 1 &= A\\ 1 &= B - 3A\\ 0 &= C - 3B \\ -7 &= -3C + D. \end{align} $$ Usted ya tiene $A$ por lo que a partir de la segunda ecuación se puede encontrar $B$ . Eso da $C$ de la tercera ecuación. Y así desde la última ecuación tienes $D$ .