Cómo demostrar que la serie de Grandi $= \frac{1}{2}$ utilizando la transformada de Euler

Question

Dejemos que $x$ denotar la serie de Grandi $1-1+1-1+1-1+1-...$

Esto implica que $$ x = 1\text{ or}\\ x = 0\text{ or}\\ 1-x = 1 - (1-1+1-1+1-...) = x \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$$

Donde la última suma parece contraria a la intuición ya que $\sum_{k=0}^n (-1)^k = \frac{1}{2} (-1)^{n}+1 \neq \frac{1}{2}$ pero se demuestra tomando la suma de Cesàro o Abel.

¿Es posible calcular a favor de $x=\frac{1}{2}$ utilizando Transformación de Euler ?

Answer 1

Es posible que desee ser más cauteloso con respecto a " x "; no está claro qué se supone que significa esa letra aquí. De todos modos, sí, la transformada de Euler de la serie $1-1+1-1+\cdots$ es $\frac12+0+0+\cdots$ que converge a $\frac12$ . Así que el Suma de Euler de $1-1+1-1+\cdots$ es $\frac12$ .

Como El propio Euler lo puso:

I. Sit igitur proposita haec series Leibnitzii: $$S=1-1+1-1+1-1+\mathrm{\&c.}$$ in qua cum omnes termini fint aequales, fient omnes differentiae $=0$ , ideoque ob $a=1$ , erit $S=\frac12$ .