¿Por qué es $L^p$ isomorfo a $(L^p)^2$

Question

¿Es posible decir por qué los espacios del título son isomorfos como espacios de Banach? ¿Hay algún teorema que lo diga o es posible encontrar una representación explícita de este isomorfismo?

Answer 1

Para un espacio de medidas general $(\Omega,\mu)$ , $L^p=L^p(\Omega,\mu)$ es no isomorfo a $(L^p)^2$ . Por ejemplo, considere $\Omega=\{ 0,1\}$ con la medida de recuento. A continuación, $L^p$ tiene dimensión $2$ pero $(L^p)^2$ tiene dimensión 4, por lo que no pueden ser isomorfas.

Si $L^p$ es $L^p(I)$ para algún intervalo no trivial $I\subset \mathbb R$ (y la medida de Lebesgue), entonces hay isomorfismos isométricos muy simples entre $L^p$ y el " $\ell^p$ suma directa" de $L^p$ con ella misma, es decir $L^p\times L^p$ con norma $$\Vert (u,v)\Vert=\left( \Vert u\Vert_p^p+\Vert v\Vert_p^p\right)^{1/p}.$$

Escriba $I=I_1\cup I_2$ donde $I_1$ y $I_2$ son intervalos disjuntos no triviales. Entonces $L^p(I_1)$ y $L^p(I_2)$ son ambos isométricos con $L^p=L^p(I)$ y el mapa $J=L^p(I)\to L^p(I_1)\times L^p(I_2)$ definido por $$J(f)=(f_{|I_1}, f_{|I_2})$$ es un isomorfismo isométrico de $L^p$ sobre el " $\ell^p$ suma directa" $L^{p}(I_1)\times L^p(I_2)$ que es isométrica con respecto a la " $\ell^p$ suma directa" $L^p\times L^p$ .

Si $L^p$ es $\ell^p(\mathbb N)$ , esto (es decir $L^p$ es isomorfo a $L^p\times L^p$ ) también es cierto. De hecho, el resultado es cierto para $L^p(\Omega,\mu)$ tan pronto como se pueda escribir $\Omega=\Omega_1\cup \Omega_2)$ , donde $\Omega_1,\Omega_2$ son conjuntos medibles disjuntos tales que $L^p(\Omega_i, \mu_{|\Omega_i})$ es isomorfo a $L^p(\Omega,\mu)$ para $i=1,2$ .

Answer 2

Entendiendo que estamos hablando de $E=L^p([0,1],\lambda)$ podemos equiparar el producto cartesiano $F = E\times E$ con la norma $$\Vert (f,g)\Vert_F=\root{p}\of{\frac{\Vert f\Vert_p^p+\Vert g\Vert_p^p}{2}}$$ Con esta notación el operador $$\Phi:E\to F,\Phi(f)(x)=\left(f\left(\frac{x}{2}\right),f\left(\frac{x+1}{2}\right)\right)$$ Es una isometría.