Si $(10000x^{2015} - x)\over (x^2+x+1)$ es impar, entonces $4x^2 + 3x + 1$ está en paz.

Question

¿Cómo podría empezar a demostrar esta implicación? Empezando por la hipótesis $(10000x^{2015} - x)\over(x^2+x+1)$ = $2(k)+1$ .

Estoy un poco perdido en cuanto a dónde ir?

Answer 1

Supongamos, $x$ está en paz. Entonces $1000x^{2015}-x$ es par y $x^2+x+1$ es impar. Por lo tanto, la fracción es par, contradiciendo la suposición.

De ahí que.., $x$ debe ser impar y por lo tanto $4x^2+3x+1$ incluso.

Answer 2

Mira primero el denominador:

$$x^2+x+1=x(x+1)+1$$

Al menos uno de $x$ y $x+1$ es incluso así $x(x+1)$ es par y $x(x+1)+1$ es, pues, impar .

Esto significa que $$10000x^{2015}-x=(2k+1)(x^2+x+1)$$ es impar porque es el producto de dos números Impares .

Pero $10000x^{2015}$ es incluso así $x$ debe ser impar .

Para terminar, observe que $4x^2$ es par y $3x$ y $1$ son impar . Por lo tanto, el número $$4x^2+3x+1$$ es incluso .