Deje $f(x)$ ser monótona decreciente en $(0,+\infty)$, de tal manera que $$0<f(x)<\lvert f'(x) \rvert,\qquad\forall x\in (0,+\infty).$$
Mostrar que $$xf(x)>\dfrac{1}{x}f\left(\dfrac{1}{x}\right),\qquad\forall x\in(0,1).$$
Mis ideas:
Desde $f(x)$ es monótona decreciente, $f'(x)<0$, por lo tanto $$f(x)+f'(x)<0.$$ Vamos $$F(x)=e^xf(x)\Longrightarrow F'(x)=e^x(f(x)+f'(x))<0$$ así $F(x)$ también es monótona decreciente. Desde $0<x<1$, $$F(x)>F\left(\dfrac{1}{x}\right)$$ así $$e^xf(x)>e^{\frac{1}{x}}f\left(\frac1x\right).$$ Así que tenemos que probar $$e^{\frac{1}{x}-x}>\dfrac{1}{x^2},\qquad0<x<1$$ $$\Longleftrightarrow \ln{x}-x>\ln{\dfrac{1}{x}}-\dfrac{1}{x},0<x<1$$ debido a $0<x<1,\dfrac{1}{x}>1$, por lo que no puedo. Pero no sé si esta desigualdad es verdadera. Traté de Wolfram Alpha , pero no me dice nada definitivo.
PS: Este problema es de un Chino el problema del análisis del libro por Huimin Xie.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Una tentativa de prueba:
Poner $g(x)=x^2f(x)-f(1/x)$. Tenemos
$$g^{\prime}(x)=2xf(x)+x^2f^{\prime}(x)+\frac{1}{x^2}f^{\prime}(\frac{1}{x})=A+B+C$$ with $\displaystyle A=x^2(f(x)+f^{\prime}(x))$, $\displaystyle B=\frac{1}{x^2}(f(\frac{1}{x})+f^{\prime}(\frac{1}{x}))$, and $\displaystyle C=x(2-x)f(x)-\frac{1}{x^2}f(\frac{1}{x})$.
Han demostrado que el $A<0$ y $B<0$. Tenemos $$C =x(2-x)f(x)-\frac{1}{x^2}f(\frac{1}{x})=-(x-1)^2 f(x)+\frac{1}{x^2} g(x)$$ ahí $\displaystyle g^{\prime}(x)-\frac{1}{x^2}g(x)<0$. $h(x)=g(x)\exp(1/x)$, Tenemos $\displaystyle h^{\prime}(x)=(g^{\prime}(x)-\frac{1}{x^2}g(x))\exp(1/x)$, y por lo tanto, es disminuir el $h$. $g(1)=0$, Tenemos $h(1)=0$, $h(x)>0$ $x\in (0,1)$, y hemos terminado.
Creo que la respuesta por @Kelenner es realmente bueno. Esta respuesta es sólo para demostrar la desigualdad $$ e^{1/x-x}>1/x^2,\quad 0<x<1.\la etiqueta{*} $$ lo que fue discutido en el post/comentarios. Aplicamos el logaritmo, y puesto que el logaritmo es monótonamente creciente, la desigualdad de $(*)$ es equivalente a $$ 2\ln x>x-\frac{1}{x},\quad 0<x<1.\la etiqueta{**} $$ Vamos $$ g(x)=2\ln x-x+\frac{1}{x}. $$ A continuación, $g(1)=0$ y una diferenciación (y simplificación) da $$ g'(x)=-\frac{(x-1)^2}{x^2}. $$ Por lo tanto $g'(x)<0$ $0<x<1$ (por lo $g$ es monótonamente decreciente) y se deduce que $g(x)>0$$0<x<1$, por lo que el $(**)$ mantiene. Pero $(**)$ se considera equivalente a $(*)$, y así la desigualdad de $(*)$ es cierto.
Edit: he actualizado la solución sin que el cambio de variable, ya que no creo que sea simplificado nada en el final.
