Desde la mecánica clásica sabemos que la ecuación de campo gravitatorio para el potencial escalar toma la forma $$\nabla^2\phi=4\pi \rho,$$ donde $\rho$ es la densidad de masa (que puede depender del tiempo y el espacio). Además, la ecuación de movimiento asociada para una partícula puntual es $$\ddot{x}+\nabla\phi=0.$$ Uno de los requisitos básicos para una teoría clásica es que no debe depender del marco de referencia inercial que estemos eligiendo. En particular, para una teoría no relativista como la descrita anteriormente, esperaría que la teoría mantenga su forma bajo transformaciones galileanas. Sin embargo, no estoy seguro de cómo hacer esto rigurosamente con un $\phi$ general. ¿Alguna idea?
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El grupo Galileano consta de tres tipos diferentes de transformaciones de coordenadas entre dos marcos de referencia inerciales diferentes: traslaciones, rotaciones y aceleraciones.
Una traslación se ve así
$$x'=x-X\\y'=y-Y\\z'=z-Z$$
donde $X$, $Y$ y $Z$ son constantes.
Una rotación se ve así
$$x_i'=R_{ij}x_j$$
donde $R$ es una matriz de rotación constante.
Una aceleración se ve así
$$x'=x-V_xt\\y'=y-V_yt\\z'=z-V_zt$$
donde $V_x$, $V_y$ y $V_z$ son constantes.
Bajo cualquier transformación Galileana, se asume que el potencial $\phi$ es un escalar que satisface $\phi’(\mathbf{r}’, t)=\phi(\mathbf{r}, t)$. Aquí, $\mathbf{r}$ y $\mathbf{r}’$ representan el mismo punto en dos marcos de referencia diferentes. El potencial es simplemente un único valor en cada punto, y todos los observadores están de acuerdo en cuál es ese valor.
Lo mismo se aplica a la densidad de masa $\rho$.
El operador Laplaciano se puede demostrar que es un escalar con transformación $\nabla’^2=\nabla^2$. El argumento sencillo es que es el producto escalar del operador de vector gradiente consigo mismo. Para un argumento más cuidadoso, calcula qué ocurre con $\partial^2/\partial x^2+\partial^2/\partial y^2+\partial^2/\partial z^2$ bajo traslaciones, rotaciones y aceleraciones Galileanas, utilizando las ecuaciones de transformación anteriores.
Por lo tanto, tu primera ecuación
$$\nabla^2\phi=4\pi\rho$$
tiene la forma covariante escalar=escalar bajo traslaciones, rotaciones y aceleraciones. Dicho de otra manera
$$\nabla^2\phi(\mathbf{r},t)=4\pi\rho(\mathbf{r},t)$$
implica
$$\nabla’^2\phi’(\mathbf{r’},t)=4\pi\rho’(\mathbf{r’},t),$$
lo que muestra que es invariante en forma.
La segunda ecuación,
$$\ddot{\mathbf{r}}=-\nabla\phi,$$
es covariante porque tanto la aceleración como el operador de gradiente son vectores bajo rotaciones y escalares bajo traslaciones y aceleraciones; y el potencial es un escalar en los tres casos.
Así que bajo rotaciones, esta ecuación tiene la forma covariante vector=vector, y bajo traslaciones y aceleraciones tiene la forma covariante escalar=escalar.
De otra manera, esta ecuación implica
$$\ddot{\mathbf{r’}}=-\nabla’\phi’,$$
por lo que es invariante en forma.
Nota: En el caso de las rotaciones, obtienes estas mismas ecuaciones en la misma forma después de "cancelar" la matriz de rotación que introduce la rotación en ambos lados. Simplemente multiplica ambos lados por la matriz inversa para deshacerte de ella y restaurar la forma original.
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La ecuación $\nabla^2\phi=4\pi\rho$ no es una ecuación dinámica, es más bien una restricción. Cf. physics.stackexchange.com/a/20072/4552. En tus dos ecuaciones, $\rho$ solo aparece en una, por lo que podemos tomarlo como una definición de $\rho$. Aunque $\rho$ se transforma trivialmente, incluso si no lo hiciera, no nos importaría; no afectaría el valor de verdad de las ecuaciones. Para hacer de esto una teoría predictiva, necesitas acoplar tus dos ecuaciones de alguna manera, probablemente agregando una ecuación de continuidad o algo que relacione el movimiento de partículas ($\ddot{x}$) con cambios en $\rho$.