Determinar el volumen de $A:=\{(x,y,z)\in \mathbb R^3 : \sqrt{x^2+y^2}\leq f(z)\}$

Question

Dejemos que $f\in L^2(\mathbb R)$ y $f\geq0$ . Determine $A:=\{(x,y,z)\in \mathbb R^3 : \sqrt{x^2+y^2}\leq f(z)\}$ .

Sustitución "normal" $(x=rcos(\phi),y=rsin(\phi))$ no ayudó mucho, ya que no tengo ninguna información sobre f(z)

Answer 1

Ibas por buen camino. Usando coordenadas polares, encontramos que el volumen de $A$ es $$\int_0^{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \int_0^{f(z)} r\, dr\, dz\, d\theta = \pi \int_{-\infty}^{\infty} f(z)^2\, dz.$$