Demostrar por inducción matemática que $\forall n \in \mathbb{N} : \sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$

Question

Demuestra por inducción matemática que:

$$\forall n \in \mathbb{N} : \sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$$

Paso 1: Demuestre que la afirmación es verdadera para $n = 1$ :

LHS = $$\frac{(-1)^{1+1}}{1} = 1$$

RHS = $$\frac{1}{1} = 1$$

Paso 2: Demuestre que "si es cierto para n = p, entonces es cierto para n = p + 1":

Empezando por el LHS de la igualdad para $n = p + 1$ y tratar de llegar a la RHS utilizando la igualdad para $n = p$ . Simplificando:

$$\sum_{k=1}^{2(p+1)} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \sum_{k=1}^{2p+2} \frac{(-1)^{k+1}}{k}$$

Rompiendo con el primer término:

$$\sum_{k=1}^{2p+2} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \frac{(-1)^{2p+3}}{2p+2} + \frac{(-1)^{2p+2}}{2p+1} + \sum_{k=1}^{2p} \frac{(-1)^{k+1}}{k}$$

El último término se puede intercambiar ahora por el RHS en la igualdad original:

$$\frac{(-1)^{2p+3}}{2p+2} + \frac{(-1)^{2p+2}}{2p+1} + \sum_{k=1}^{2p} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \frac{(-1)^{2p+3}}{2p+2} + \frac{(-1)^{2p+2}}{2p+1} + \sum_{k=p+1}^{2p} \frac{1}{k}$$

Desde $2p+3$ es impar y $2p+2$ es par, obtenemos:

$$\frac{(-1)}{2p+2} + \frac{1}{2p+1} + \sum_{k=p+1}^{2p} \frac{1}{k} = \frac{(-1)}{2p+2} + \sum_{k=p+1}^{2p+1} \frac{1}{k}$$

...porque podemos absorber fácilmente el segundo término en la suma del tercer término. Sin embargo, estoy atascado aquí porque el primer término es negativo. Probablemente he cometido un error trivial en alguna parte, pero no soy capaz de encontrarlo. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Quiere demostrar que $\forall n \in \mathbb{N} : \sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$ .

Considera cómo cambia cada lado cuando se pasa de $n$ a $n+1$ .

El lado izquierdo va desde $\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}$ a $\sum_{k=1}^{2(n+1)} \frac{(-1)^{k+1}}{k} =\sum_{k=1}^{2n+2} \frac{(-1)^{k+1}}{k}$ . Esto cambia por $\sum_{k=2n+1}^{2n+2} \frac{(-1)^{k+1}}{k} =\frac{(-1)^{2n+2}}{2n+1}+\frac{(-1)^{2n+3}}{2n+2} =\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2} =\frac{(2n+2)-(2n+1)}{(2n+1)(2n+2)} =\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}$ .

El lado derecho cambia de $\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$ a $\sum_{k=n+2}^{2n+2} \frac{1}{k}$ . La diferencia es

$\begin{array}\\ \sum_{k=n+2}^{2n+2} \frac{1}{k}-\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} &=(\sum_{k=n+2}^{2n} \frac{1}{k}+\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}) -(\frac1{n+1}+\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k})\\ &=(\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2})-(\frac1{n+1})\\ &=\frac{(2n+2)(n+1)+(2n+1)(n+1)-(2n+1)(2n+2)}{(2n+1)(2n+2)(n+1)}\\ &=\frac{(2n^2+4n+2)+(2n^2+3n+1)-(4n^2+6n+2)}{(2n+1)(2n+2)(n+1)}\\ &=\frac{n+1}{(2n+1)(2n+2)(n+1)}\\ &=\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}\\ \end{array}$

Estas dos son iguales, por lo que las dos sumas cambian en la misma cantidad cuando $n$ va de $n$ a $n+1$ .

Obsérvese cómo el paso clave para obtener la diferencia para el lado derecho fue encontrar los términos en las dos sumas que tienen el mismo rango de índices para que puedan ser cancelados. La primera suma va de $n+2$ a $2n+2$ , y el segundo va de $n+1$ a $2n$ . Lo que tienen en común es $n+2$ a $2n$ . La primera suma tiene, además de los términos comunes, $2n+1$ y $2n+2$ (en la parte superior); la segunda suma tiene $n+1$ (en la parte inferior). Cuando los dos se restan, sólo el $2n+1$ , $2n+2$ , y $n+1$ términos quedan.

Este es un paso muy común cuando hacer este tipo de problemas y deberías practicar para sentirte cómodo con esto.

Nota: Me doy cuenta después de escribir esto que el cálculo de la diferencia del lado derecho podría ser más simple, así:

$\begin{array}\\ \sum_{k=n+2}^{2n+2} \frac{1}{k}-\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} &=(\sum_{k=n+2}^{2n} \frac{1}{k}+\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}) -(\frac1{n+1}+\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k})\\ &=(\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2})-(\frac1{n+1})\\ &=\frac{(2n+2)+(2n+1)-2(2n+1)}{(2n+1)(2n+2)}\\ &=\frac{(4n+3)-(4n+2)}{(2n+1)(2n+2)}\\ &=\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}\\ \end{array}$

Answer 2

Cuando se pasa de $n=p$ a $n=p+1$ lo que se quiere mostrar es

$$\sum_{k=1}^{2(p+1)} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \sum_{k={\color{red}{(p+1)}}+1}^{2(p+1)} \frac{1}{k}.$$

La parte crucial que creo que estás pasando por alto está en rojo. Para obtener el resultado deseado, tienes que sacar el primer término de tu suma $\sum_{k=p+1}^{2p+1} \frac{1}{k}$ .

$$\begin{align}\\ \frac{(-1)}{2p+2} + \sum_{k=p+1}^{2p+1} \frac{1}{k} &= \frac{-1}{2p+1} + \frac{1}{p+1} + \sum_{k=p+2}^{2p+1} \frac{1}{k},\\ &= \frac{-1}{2p+2} +\frac{2}{2p+2} + \sum_{k=p+2}^{2p+1} \frac{1}{k}, \\ &= \frac{1}{2p+2} + \sum_{k=p+2}^{2p+1} \frac{1}{k}, \\ &= \sum_{k=p+2}^{2p+2} \frac{1}{k}.\\ \end{align}$$