Dejemos que $\mathcal{M}$ sea una suave $m$ -y dejemos que $F\colon \mathcal{M} \longrightarrow \mathbb{R}^{n}$ sea cualquier mapa suave, con m $\geq$ n . Quiero demostrar que, si $p \in \mathcal{M}$ :
$$ \text{$ F $ is a submersion at $ p $} \iff \lbrace d_{p}F^{1},\dots,d_{p}F^{n}\rbrace \text{ are l.i. in $ (T_{p} \mathcal {M})^{*} $} $$ Fueron $d_{p}f := \lambda^{-1}_{f(p)} \circ T_{p}f \colon T_{p}\mathcal{M} \longrightarrow \mathbb{R} \in (T_{p}\mathcal{M})^{*}$ , $T_{p}f\colon T_{p}\mathcal{M}\longrightarrow T_{f(p)}\mathcal{M}$ es el mapa tangente en $p$ y $\lambda_{p}\colon V \longrightarrow T_{p}V$ es el isomorfismo canónico entre un espacio vectorial de dimensión finita sobre $\mathbb{R}$ y su espacio tangente. Podemos extender la definición de diferencial de un mapa suave $F\colon \mathcal{M} \longrightarrow V$ poniendo $D_{p}F := \lambda^{-1}_{F(p)} \circ T_{p}F \colon T_{p}\mathcal{M} \longrightarrow V$ , donde $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre $\mathbb{R}$ .
Esto es trivial si se toma $\mathcal{M} = \mathbb{R}^{m}$ ya que se puede identificar el mapa tangente con el diferencial desde el cálculo ordinario, pero quiero formalizar la demostración lo más posible en el caso general usando las definiciones que di.
Respuesta
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Hecho de álgebra lineal: Sea $A:V\rightarrow \mathbb{R}^n$ sea una transformación lineal de espacios vectoriales, entonces $A$ es proyectiva si $\pi_1A,\pi_2A,...,\pi_nA$ son miembros linealmente independientes de $V^*$ . (Donde $\pi_i:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ es la i-ésima proyección).
Prueba: Equipar $V$ con cualquier producto interno, entonces existe $v_1,...,v_n\in V$ tal que $\pi_iA(x)=x \circ v_i$ para todos $x\in V , i\in [n]$ . $\dim(Im(A))=\dim(V)-dim(Ker(A))=dim(V)-dim(\{v_1,...,v_n\}^{\perp})=dim(span(\{v_1,...,v_n \}))$ .
Así, $A$ es proyectiva si $dim(Im A)=n$ si $dim(span(\{v_1,...,v_n\}))=n$ si $v_1,...,v_n$ son L.I. si $\pi_1A,...,\pi_nA$ son L.I. $\square$
Identificar el espacio tangente de cualquier punto de $\mathbb{R}^n$ con $\mathbb{R}^n$
Ahora volvamos a su configuración, entonces para cualquier $v\in T_pM$ : $dF^i_p(v)=<v,F^i>=<v,\pi_i \circ f>=<Df|_pv,\pi_i>=\pi_i(Df|_pv)$ .
Así que $dF^i_p=\pi_i\circ Df|_p$ . Ahora aplica el hecho anterior sobre la transformación lineal $Df|_p:T_pM\rightarrow \mathbb{R}^n$ y habrás terminado.
