Dada una extensión de campo $L : K : F$ , si $L:F$ y $K:F$ son generados finitamente entonces también lo es $L:K$ .

Question

Estoy tratando de encontrar una fuente para la proposición del título: si $L : K : F$ es una torre de extensiones de campo, y además tanto $L$ y $K$ están generados finitamente sobre $F$ entonces $L$ está generada finitamente sobre $K$ .

Esta afirmación no parece estar en Dummit y Foote, y no he tenido suerte en encontrar una prueba en línea. ¿Alguien tiene una referencia, fuente o prueba de ello?

Answer 1

Bueno, he descubierto una prueba. Resulta que es mucho más simple de lo que pensé que sería, y no lo pensé lo suficiente antes de publicar la pregunta.

Si $L : F$ está generada finitamente, entonces por definición eso significa que hay algunas $\alpha_1, \ldots, \alpha_s \in L$ tal que $L$ es el campo más pequeño (por inclusión) que contiene $F$ todo el $\alpha_i$ . Consideremos ahora algún campo intermedio $K$ (así $L : K : F$ es una torre de extensiones). Ciertamente, $L$ contiene $K$ y $L$ contiene todos los $\alpha_i$ y si $L$ no era el campo más pequeño que contenía $K$ y el $\alpha_i$ entonces tampoco sería el campo más pequeño que contiene $F$ y el $\alpha_i$ ya que $F \leq K$ lo cual es absurdo ya que $L$ está generada finitamente sobre $F$ . Por lo tanto, $L$ está generada finitamente sobre $K$ .