Me han pedido que haga el siguiente ejercicio Demostrar que
$$ \left\{\begin{array}{l} \dot{x} = \cos (tx^2) \\ x (t_0)=x_o \end{array}\right.$$ tiene una solución única definida en $\mathbb{R}$ .
Quería saber si lo que he hecho podría resolver el ejercicio. Esto es lo que he hecho:
Utilizaré el siguiente teorema:
Dejemos que $f: \mathcal{D} \subset$ $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}^{n}$ sea una función continua localmente Lipschitz en $\mathcal{D}$ (abierto y conectado). Entonces, para cada $\left(t_{0}, x_{0}\right) \in \mathcal{D}$ existe un intervalo $J \subset \mathbb{R}$ que contiene $t_{0}$ , tal que la p.v.i. $$ \left\{\begin{array}{l} \dot{x}=f(t, x) \\ x\left(t_{0}\right)=x_{0} \end{array}\right. $$ tiene una solución única definida en $J$
En mi ejercicio, $$f(t,x)=cos(tx^2)$$ que es continua en $\mathbb{R}$ .
Por lo tanto, podemos establecer $\mathcal{D} = \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ Por lo tanto $\left(t_{0}, x_{0}\right) \in \mathcal{D}$
Ahora tenemos que comprobar que f es localmente continua de Lipschitz. Para demostrarlo utilizaré que si $f$ tiene derivadas parciales continuas para $x$ entonces $f$ satisface la condición de Lipschitz. $$ \frac{\partial f}{\partial x}(t, x)= -2tx\sin(tx^2) $$ Desde $f_x= -2tx\sin(tx^2)$ es continua en $\mathbb{R}$ , $f$ satisface la condición de Lipschitz.
Por lo tanto, nuestro i.v.p. tiene una solución única en $\mathbb{R}$
