son $f(f(x))=f(x)$ y $f(x)=x$ ¿equivalente?

Question

cuando aplique $f^{-1}$ a ambos lados $f(f(x))=f(x)$ $(1)$ obtenemos $f(x)=x$ $(2)$ .

son $1$ y $2$ ¿equivalente?

Answer 1

Si $f:A\to A$ satisface $f\circ f=f$ entonces $f\circ f=f\circ id_A=id_A\circ f$ . Por lo tanto, si $f$ es cancelable a la izquierda o a la derecha, entonces $f=id_A$ . Como generalmente se sostiene que tal función $f$ es anulable por la izquierda si es inyectiva, mientras que es anulable por la derecha si es sobreyectiva, se deduce que si $f$ es inyectiva o sobreyectiva, entonces $f\circ f =f $ implica $f=id$ . Si $f$ no es ni inyectiva ni sobreyectiva, como en $f:\mathbb R \to \mathbb R$ dado por $f(x)=5.8$ entonces claramente $f\circ f=f$ mientras que $f\ne id_\mathbb R$ Por lo tanto, la implicación es generalmente falsa.

Por último, es posible que $f\circ f =f$ sin $f$ siendo inyectiva o sobreyectiva. Por ejemplo, dejemos que $f:\{1,2,3\}\to \{1,2,3\}$ sea dada por $f(1)=f(2)=1$ y $f(3)=3$ .

Answer 2

Dejemos que $f\colon \{0,1\}\to\{0,1\}$ sea dada por $f(0)=1, f(1)=1$ y observe que $f(f(0))=1=f(1)$ pero $f(0)=1\neq 0$ por lo que no es cierto para esta función $f$ .

Answer 3

Como otros han dicho en los comentarios, esto es válido si $f$ es inyectiva. Permítanme darles un ejemplo de un mapa no inyectivo donde es falso. Consideremos $f:\mathbb R\to\mathbb R$ con $f(x)=0$ para todos $x\in\mathbb R$ . Tenemos $$f(f(x)) = f(0) = 0 = f(x)$$ para todos $x\in\mathbb R$ pero $f(x)=x$ sólo para $x=0$ no todos $x\in\mathbb R$ .

Como ha señalado @Louis, la subjetividad de $f$ también es suficiente: Sea $f(f(x))=f(x)$ para todos $x$ y, a continuación, elija cualquier $y$ ya que $f$ es suryente, $y=f(x)$ para algunos $x$ Así que $$f(y) = f(f(x)) = f(x) = y$ para todos $y$ .

Para concluir: Si $f$ es sobreyectiva o inyectiva y $f(f(x))=f(x)$ para todos $x$ entonces $f$ es el mapa de identidad.

Answer 4

Supongamos que tenemos una matriz $F$ que representa la aplicación de f.

En matrices esto significa $$F^2 = F$$ Esta es la ecuación que define un proyección .

Las proyecciones son diagonalizables y tienen valores propios $0$ ou $1$ .

Podemos tomar como ejemplo una función $$x\to f(x) = |x|$$ en el espacio de los números enteros $$x\in\{-3,-2,\cdots,2,3\}$$

Nuestra matriz pasa a ser $$F = \left[\begin{array}{lllllll}&&&&&&\\&&&&&&\\&&&&&&\\&&&1&&&\\&&1&&1&&\\&1&&&&1&\\1&&&&&&1\end{array}\right]$$

Ahora es un simple ejercicio de álgebra lineal encontrar $F = SDS^{-1}$

Podemos verificar $D_{ii} \in \{0,1\}$

Para un tratamiento más general de las funciones ampliables de series de potencias suaves, puede considerar Matrices de Carleman .