Valor de una expresión con raíz cúbica radical

Question

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$$\sqrt[3]{\ 17\sqrt{5}+38} - \sqrt[3]{17\sqrt{5}-38}$$

Answer 1

Dejemos que $u=\sqrt[3]{38+17\sqrt{5}}$ , $v= \sqrt[3]{38-17\sqrt{5}}$

A partir de la ecuación $$u+v=n$$ y al cubo, obtenemos $$u^3+v^3+3uv(u+v)=n^3$$ es decir $$76-3n=n^3$$ Una raíz de esta ecuación es $4$ . De hecho, no tiene más raíces reales.

Así que sabemos que $u+v=4$ pero necesitamos $u-v$ . También sabemos que $uv=-1$ . Entonces $$u-v=\sqrt{(u+v)^2-4uv}=\sqrt{16+4}=2\sqrt 5$$

Answer 2

Esto es lo que pasa con esta pregunta: Es un truco. Para la mayoría de los números de la forma $a+b\sqrt 5$ la raíz del cubo es un desastre. Pero algunos de esos números tienen bonitas raíces cúbicas y cuando las tienen podemos encontrarlas.

Lo único que tienes que saber es que si $x$ es cualquier número de la forma $a+b\sqrt5$ entonces $x^2, x^3$ etc. también tienen esa forma. Por ejemplo: $$\begin{align} (a+b\sqrt 5)^2 & = a^2 + 2ab\sqrt 5 + 5b^2 \\ & = (a^2 + 5b^2) + 2ab\sqrt 5 \end{align}$$ O de forma similar $$(a+b\sqrt 5)^3 = (a^3 + 15ab^2) + (3a^2b+5b^3)\sqrt 5.\tag{$\star$}$$

Si $17\sqrt5 + 38$ tiene una raíz cúbica simple, será algo de la forma $a+b\sqrt 5$ . Desde $(\star)$ querríamos $$\begin{align} a^3+ 15ab^2 & = 38 \\ 3a^2b+5b^3 &= 17 \\ \end{align}$$

Observando la primera ecuación vemos que tal vez $15ab^2 = 30$ es casi 38, y luego $a=2, b=1$ funcionaría. Esto también funciona en la segunda ecuación. (O podríamos mirar primero la segunda ecuación y ver de inmediato que la única forma de obtener $3x+5y=17$ es tener $x=4, y=1$ Así que $a=2, b=1$ .) Esto se llama resolver ecuaciones "por inspección". No es del todo una suposición de suerte; es una suposición de suerte reflexiva basada en la esperanza de que la solución sea sencilla. Pero tampoco sería difícil probar todas las posibilidades de $a$ y $b$ No pueden ser demasiado grandes porque entonces $a^3+15ab^2$ sería mucho mayor que 38.

Ahora tenemos $a=2, b=1$ sabemos que $\sqrt[3]{17\sqrt 5+ 38} = 2+\sqrt 5$ . Podemos utilizar el mismo método para encontrar $\sqrt[3]{17\sqrt 5- 38}$ exactamente, y a partir de ahí la solución es fácil.

Answer 3

La expresión recuerda extrañamente a la fórmula de Cardano para la ecuación cúbica

$$x=\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}.$$

Identificando, tenemos

$$q=-76,p=3,$$

y $x$ es una raíz de $$x^3+3x-76=0.$$ Por inspección (probando valores cercanos a $\sqrt[3]{76}$ ), $\color{green}4$ es una solución.

Como $$x^3+3x-76=(x-4)(x^2+4x+19),$$ las otras raíces son complejas.

Answer 4

Es $2\sqrt{5}$ . Tenga en cuenta que $(17\sqrt{5}+38)^{\frac{1}{3}}=2+\sqrt{5}$ .

Answer 5

$$\sqrt[3]{\ 17\sqrt{5}+38} - \sqrt[3]{17\sqrt{5}-38}=$$ $$\sqrt[3]{8+12\sqrt{5}+30+5\sqrt{5}} - \sqrt[3]{-8+12\sqrt{5}-30+5\sqrt{5}}=$$ $$\sqrt[3]{8+12\sqrt{5}+6\left(\sqrt{5}\right)^2+\left(\sqrt{5}\right)^3} - \sqrt[3]{-8+12\sqrt{5}-6\left(\sqrt{5}\right)^2+\left(\sqrt{5}\right)^3}=$$ $$\sqrt[3]{\left(\sqrt{5}+2\right)^3} - \sqrt[3]{\left(\sqrt{5}-2\right)^3}=$$ $$\left({\left(\sqrt{5}+2\right)^3}\right)^{\frac{1}{3}} - \left({\left(\sqrt{5}-2\right)^3}\right)^{\frac{1}{3}}=$$ $$\left(\sqrt{5}+2\right) -\left(\sqrt{5}-2\right)=$$ $$\left(\sqrt{5}+2\right) +\left(2-\sqrt{5}\right)=$$ $$2+2+\sqrt{5}-\sqrt{5}=2+2=4$$