¿Se pregunta si es la aplicación del Teorema del Valor Medio?

Question

Dejemos que $f : [a,b] \to R $ sea una función diferenciable tal que $f(x)\neq0$ para todos $x\in [a,b]$ . A continuación, encuentre el valor de $\frac{f'(c)}{f(c)}$ para algunos $c\in(a,b)$

Mi intento

Utilicé del Teorema del Valor Medio que da para algunos $c\in(a,b)$ $$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ o $$\frac{f'(c)}{f(b)-f(a)}=\frac{1}{b-a}$$ ¿Podemos considerar $f(b)-f(a)=f(c)$ ? Si es así, ¿cuál será el valor de $a$ y $b$ en términos de $c$ ? Puede que me equivoque. Estaré encantado si alguien puede señalarlo.

Answer 1

Desde $f(x)\ne 0$ para todos $x$ tenemos $f(x)>0$ para todos $x$ o $f(x)<0$ para todos $x$ .

Diga $f(x)>0$ para todos $x$ . Probablemente deberías mirar la función $g(x) =\ln f(x)$ y utilizar aquí MVT lo que quieras hacer.

Por MVT hay un $c\in (a,b)$ tal que $$g'(c) = {g(b)-g(a)\over b-a}$$ así que

$${f'(c)\over f(c)} = {1\over b-a}\ln {f(b)\over f(a)}$$