''Transformaciones lineales" entre espacios vectoriales sobre diferentes campos

Question

Sean $\mathbf{V}(\mathbb{K}_1,V)$ y $\mathbf{W}(\mathbb{K}_2,W)$ dos espacios vectoriales sobre campos diferentes (por ejemplo, $\mathbb{K}_1=\mathbb{C}$ y $\mathbb{K}_2=\mathbb{R}$).

¿Podemos generalizar la noción de una transformación lineal $T:\mathbf{V}\to\mathbf{W}$ para estos dos espacios?

Mi idea es que no tenemos problemas con la aditividad: $$ T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=T(\mathbf{x})+ T (\mathbf{y}) $$ pero tenemos dificultades con la homogeneidad ya que para $T(\alpha \mathbf{x})$ no podemos definir $\alpha T(\mathbf{x})$.

Parece que debemos tener alguna función $\lambda :\mathbb{K}_1 \to \mathbb{K}_2 $ para poder escribir algo como $$ T(\alpha \mathbf{x})=\lambda(\alpha)T(\mathbf{x}), $$

¿Pero hay alguna definición "natural" de tal función $\lambda$ que preserve el significado intuitivo de linealidad?

Answer 1

Una cosa que puedes escribir es un par que consiste en un morfismo $f : K_1 \to K_2$ de campos y un morfismo $T : V \to W$ de grupos abelianos tal que

$$T(ax) = f(a) T(x).$$

Esto es a veces útil en el caso de que $K_1 = K_2$ sea una extensión de Galois de algún campo $k$ y $f$ sea un elemento del grupo de Galois; entonces, $T$ se llama un mapa "semilineal". Más generalmente, $K_1, K_2$ pueden ser anillos arbitrarios y $V, W$ pueden ser módulos sobre esos anillos; esto es parte de una útil categoría fibrosa.