Permítanme presentar una prueba algebraica de la primera igualdad y una prueba por inducción, tal vez aparezca.
Supongamos que buscamos verificar que
$$\sum_{k=0}^{n-2} {n\choose k} {n\choose k+1} \frac{n-2k-1}{k+1} = n-2+\frac{1}{n+1}{2n\choose n}.$$
La izquierda tiene dos piezas que son, primero, la pieza $A$ , $$\sum_{k=0}^{n-2} {n\choose k} {n\choose k+1} \frac{n+1}{k+1} = \sum_{k=0}^{n-2} {n+1\choose k+1} {n\choose k+1}$$
y segundo, pieza $B$ , $$-2\sum_{k=0}^{n-2} {n\choose k} {n\choose k+1}.$$
Pieza $A$ es $$\sum_{k=1}^{n-1} {n+1\choose k} {n\choose k} = -1 - (n+1) + \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} {n+1\choose k}.$$
Introducir para el término de la suma $${n+1\choose k} = {n+1\choose n+1-k} = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{n+2-k}} (1+z)^{n+1} \; dz.$$
Esto da como resultado para la suma $$\frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{n+2}} (1+z)^{n+1} \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} z^k\; dz \\ = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{n+2}} (1+z)^{n+1} (1+z)^n \; dz \\ = {2n+1\choose n+1}.$$
Por lo tanto, tenemos para la pieza $A$ $$-n-2 + {2n+1\choose n+1}.$$
Pieza $B$ es $$2n - 2\sum_{k=0}^{n-1} {n\choose k} {n\choose k+1}.$$
Introducir para el término de la suma $${n\choose k+1} = {n\choose n-k-1} = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{n-k}} (1+z)^{n} \; dz.$$
Este valor es cero cuando $k=n$ por lo que podemos incluir este término en la suma que da como resultado
$$\frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{n}} (1+z)^{n} \sum_{k=0}^n {n\choose k} z^k \; dz \\ = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{n}} (1+z)^{n} (1+z)^n \; dz \\ = {2n\choose n-1}.$$
Esto da como resultado para la pieza $B$ $$2n-2{2n\choose n+1}.$$
Recogiendo las dos piezas tenemos $$n-2 + {2n+1\choose n+1} - 2{2n\choose n+1} \\ = n-2 + \frac{2n+1}{n+1} {2n\choose n} - 2 \frac{n}{n+1} {2n\choose n} \\ = n-2 + \frac{1}{n+1} {2n\choose n}.$$
