Limitar como $(x,y)$ se acerca a $(0,0)$ de $(1+x^2+y^2)^{\frac{1}{x^2+y^2+xy^2}}$

Question

Tengo la función $$f(x,y)=(1+x^2+y^2)^{\frac{1}{x^2+y^2+xy^2}}$$ y quiero evaluar el límite como $(x,y)$ se acerca a cero.

He empezado a pensar en una solución pero me quedo atascado. Tomar el límite directo no es posible ya que eso haría una función indefinida. Acercándome a $(0,0)$ de diferentes líneas, por ejemplo $y=x$ y $y=0$ ambos da indicios de que el límite podría ser $e$ pero eso no muestra realmente nada. Intenté cambiar a coordenadas polares, lo que me da $$(1+r^2)^{\frac{1}{r^2+r^3\cos(t)\sin^2(t)}}$$ ¿Fue una buena idea cambiar a coordenadas polares, se puede resolver continuando con este enfoque, o podría la función $f$ ¿se puede simplificar y resolver de otra manera?

Answer 1

Estás en el camino correcto. Sólo hay que tener en cuenta que, como $r\to 0$ , $$(1+r^2)^{\frac{1}{r^2+r^3\cos(t)\sin^2(t)}}=\exp\left(\frac{\overbrace{\frac{\log(1+r^2)}{r^2}}^{\to 1}}{1+\underbrace{r\cos(t)\sin^2(t)}_{\to 0}}\right)\to e$$ donde utilizamos el hecho de que $\log(1+s)=s+o(s)$ como $s\to 0$ .