Ser demasiado pedante con la redacción de pruebas

Question

Un poco de historia:

Hace casi dos meses empecé a autoestudiar seriamente las matemáticas y por eso busqué en la red el mejor primer libro para exponerme. Encontré los siguientes recursos inestimables:

http://www.stumblingrobot.com/best-math-books/

https://hbpms.blogspot.com/

y basándome en los sitios web anteriores me decidí por el de Velleman Cómo demostrarlo . Esta era la primera vez que veía pruebas.

Mi problema:

Por mi experiencia en este sitio web, parece que mis pruebas son demasiado pedantes o prolijas. Pero en el libro mencionado anteriormente parece que el autor hace hincapié en dichas pruebas. Así que estoy muy confundido.

Estos son algunos de los ejemplos que me dijeron que mis pruebas eran demasiado pedantes:

Supongamos que $\{A_i | i ∈ I\}$ es una familia indexada de conjuntos y $I \neq \emptyset$ . Demostrar que $\bigcap_{i\in I}A_i\in\bigcap_{i\in I}\mathscr P(A_i)$ .

Supongamos que $A$ , $B$ y $C$ son conjuntos. Demuestra que $C\subseteq A\Delta B$ si $C\subseteq A\cup B$ y $A\cap B\cap C=\emptyset$ .

Demostrar que para cualquier familia de conjuntos $\mathcal F$ , $\bigcup!\mathcal F=\bigcup\mathcal F$ si $\mathcal F$ es disjunta por pares.

En la segunda pregunta, la respuesta de Halrankard me abrió los ojos a un mundo completamente nuevo. Que debería intentar trabajar a nivel de conjuntos. Desde entonces he intentado hacer exactamente eso pero a veces me cuesta mucho hacerlo o simplemente no lo veo.

En la tercera pregunta, como en muchas otras, la respuesta de Brian M. Scott me ayudó a ver cómo era de prolijo en un determinado problema, pero en general, cada vez que intento demostrar afirmaciones del libro mencionado, mis pruebas se vuelven automáticamente demasiado pedantes. Simplemente no sé qué partes de mis pruebas son redundantes.

¿Cómo puedo solucionar este problema? ¿Es demasiado pronto para solucionar este problema? ¿Todo el mundo experimenta este problema cuando está al principio del camino?

Gracias por su atención.

Editar:

Iba a aceptar la respuesta de Mike pero como la respuesta de CogitoErgoCogitoSum era controvertida he decidido poner una recompensa a mi pregunta para ver más perspectivas.

Answer 1

He mirado tus tres pruebas, pero sólo he analizado la primera muy de cerca (ya que los que respondieron a las dos últimas proporcionaron comentarios detallados sobre tus pruebas). He añadido una respuesta a la primera pregunta.

Verás que en mi respuesta utilizo un lema muy común: $B \subseteq \cap_{i \in I} A_i$ si $\forall i \in I \ B \subseteq A_i.$

Todo el mundo aprende este tipo de lemas con el tiempo, normalmente leyendo pruebas que los utilizan. A veces uno los descubre por sí mismo, pero esto suele depender en última instancia de la inspiración que supone encontrar primero argumentos ampliamente similares en las pruebas de otras personas.

No estoy muy familiarizado con el libro de Velleman, pero al ojearlo casualmente, parece que la mayoría de los argumentos presentados se remontan al nivel de los elementos en lugar de utilizar cualquier tipo de lemas de nivel superior sobre conjuntos. Así que no se le puede culpar por reproducir el mismo estilo de demostración que utiliza el autor.

Tus pruebas se volverán naturalmente más sofisticadas cuando empieces a leer matemáticas más sofisticadas. Mientras tanto, estás haciendo lo correcto al desglosar las cosas para que entiendas cada detalle de una demostración. Eso es lo principal.

Otra forma de mejorar tus pruebas es seleccionar libros de texto o de problemas con soluciones completas. Así podrás comparar tu solución con la del libro. Parece que tienes la disciplina de hacer las cosas por tu cuenta antes de mirar una solución, así que es probable que esto sea una ayuda para ti, no un obstáculo.

Answer 2

Aquí están mis dos centavos. Sólo he leído la segunda prueba que has enlazado, y sólo la primera dirección de la misma, y creo que no es demasiado pedante en absoluto.

La cosa es que todo depende de lo avanzado que estés en tus estudios matemáticos y de lo acostumbrado que estés y lo cómodo que te sientas con las pruebas rigurosas. Dado que acabas de empezar a estudiar matemáticas rigurosas, y además de forma autodidacta, creo que es crucial que empieces escribiendo esas pruebas "pedantes". Luego, una vez que te familiarices con esas pruebas y te sientas más seguro, podrás empezar a escribir pruebas más "informales", porque desarrollarás el instinto de que la prueba es realmente correcta y de que podrías hacerla completamente rigurosa si lo necesitas.

Esto no se detiene en su nivel: cuanto más se estudia, menos rigurosas son las pruebas. Y de hecho, la gente se equivoca a menudo, pensando que algo es obvio y que podría demostrarlo con total rigor si quisiera, lo que luego resulta ser falso. Pero así es como funcionan estas cosas, y al menos hay que volverse un poco más relajado a la hora de escribir pruebas, porque si no nunca tendrías tiempo para demostrar algo más "serio", que implique matemáticas más complejas.

Una cosa que tal vez sea confusa en esto es la sensación de que siempre se puede más pedante. Y es más o menos cierto. Te sugiero que leas sobre lenguajes formales y pruebas formales, si encuentras este punto interesante/confuso. Pero en mi opinión (y en la de la mayoría de la gente) el nivel de rigor de las pruebas que enlazaste (al menos lo que yo leí) es suficiente. ¿Por qué? Porque, normalmente, cuando se escribe con tal nivel de rigor, incluso al principio de los estudios, no se cometen errores, pensando que algo está claro cuando en realidad es incorrecto. Es decir, como tus pruebas son bastante rigurosas (aunque podrían ser aún más rigurosas), realmente no hay demasiados puntos "sutiles" que puedas estar pasando por alto.

Así es, al menos, como yo lo veo.

Answer 3

Compartiendo: Llevo mucho tiempo dando clases de matemáticas, así que lo que voy a decir es sólo mi propia experiencia.

Esa "redundancia" de la que habla es tan relativa como puede serlo. Yo estoy investigando precisamente por esta situación porque mi trabajo ahora tiene que ver con la elaboración de materiales para que los alumnos trabajen básicamente solos, por sí mismos, en casa, con una mínima interacción con los tutores. Y la respuesta hasta ahora es: no hay manera perfecta de elaborar ningún material así. No hay perfección en escribir algo que, con un 100% de seguridad, sea satisfactorio para todos los lectores. Puede que nunca sea suficiente. En este caso, soy como tú. Tengo esa necesidad de detalle, de dar el máximo de información que sea posible para que el lector entienda cada pequeña cosa de la manifestación. Lo que no está escrito en ninguna parte es que cuando "damos" a alguien una respuesta para un problema, damos "nuestra" experiencia con ese problema exacto, de la forma en que "nosotros" lo vimos. Y lo que el lector hará con esa respuesta es SU problema, no es parte de la solución que nosotros propusimos. Muchas veces mis amigos me preguntan: ¿hay alguna manera de resumirlo, de hacerlo simple? Mi respuesta es siempre: si entiendes la respuesta, puedes escribirla con tus propias palabras, poner todo lo que juzgues necesario y quitar todo lo que juzgues que es demasiado.

Pero ten en cuenta una cosa: quizá nunca puedas saber exactamente lo que la persona -la que hace la pregunta- tiene en su equipaje. Así que pon siempre la máxima información que puedas, por el bien de la respuesta. Y si alguien dice que es pedante, ignóralo, porque probablemente ha entendido tu respuesta y, en esta situación, se siente capaz de reescribir más eficazmente. Significa que has tenido éxito en esta respuesta, significa una victoria completa.

Ese es mi punto de vista, obviamente... Recuerdo haber utilizado un libro de texto en el que el autor solía decir "la prueba es obvia" y pasaba a la siguiente parte, y siempre me hacía sentir tan estúpido por no haber visto la parte "obvia". Hoy hago mi propio camino a través de lo "obvio" y vuelvo a escribir todo lo que juzgo que necesita más explicación, y mis amigos siempre quieren mis cuadernos para seguir aprendiendo. Estoy en un punto en el que nunca puedo tirar un cuaderno viejo porque siempre hay alguien que necesita mis apuntes. Y siempre son bienvenidos, porque las matemáticas no son fáciles de todos modos, y si puedo ayudar, me siento completamente honrado.

En cuanto a mis alumnos, siempre les pido que pongan la máxima información posible, y si no saben exactamente cómo decir algo, que lo describan con sus propias palabras, de la mejor manera que puedan, porque con este material y si la respuesta pasó por un buen lugar, podemos usarlo y discutirlo en la clase. Yo he pagado mi precio. Mis estudiantes a veces ponen algunas respuestas largas, algunos textos grandes tratando de probar sus puntos. Así que el trabajo de revisión de los trabajos de clase de mis alumnos es enorme... Pero me gusta, y la mayoría de las veces han entendido lo básico, así que tengo trabajo que hacer en la clase con ellos, tiempo para pulir los conocimientos que tienen y hacer que se sientan cómodos con ellos mismos cuando escriben en matemáticas.

Eso es. Perdón por el largo exabrupto.

Answer 4

No hay nada que sea demasiado pedante. La gente es simplemente analfabeta y no quiere tener que leer. Si no se puede meter en un tuit de 140 caracteres, su capacidad de atención no es suficiente. Yo propongo que esta es la motivación de la mayoría de la gente. Especialmente cuando, como en un sitio como éste, responder a las preguntas es una propuesta de juego. La gente se apresura a pasar a la siguiente.

Uno quiere ser lo más riguroso posible, y no veo la distinción entre rigor y pedantería, especialmente en la redacción de pruebas.

Isaac Newton, los Bernoullis, Gauss, la lista continúa... estos hombres reciben mucho crédito por muchas cosas a lo largo de la historia. Pero si se examina su trabajo, especialmente cuanto más atrás se va, menos resisten sus pruebas al escrutinio de las expectativas de rigor de hoy en día. ¿Cuántas veces nos hemos visto obligados, como comunidad, a dudar y reescribir de nuevo pruebas que antes se consideraban válidas?

¿Y cuántos años pasarán antes de que las obras escritas por nosotros hoy en día ya no cumplan las normas de rigor? Para mí tiene sentido estar lo más seguro posible de nuestra lógica incluyendo el mayor número de detalles posible.

Es fácil pasar por alto detalles inocuos que podrían invalidar una prueba si ni siquiera están escritos; el revisor simplemente los pasa por alto aceptando las afirmaciones sobre la intuición y demás. Pero si se incluyen todas las minucias, aunque una persona no se dé cuenta del salto lógico, seguramente otra sí lo hará; podrá señalar alguna limitación en un teorema, etc., pero sólo porque se ha declarado explícitamente. El salto de A a C a través de una B no mencionada puede parecer obvio, incluso intuitivo... pero si se señala esa B explícitamente, puede que alguien caiga en la cuenta de que es una mala jugada. Sólo como ejemplo.